Mathematik verstehen 8, Maturatraining

104 5 Aufgaben 5 .13 Reize und Empfindungen Physikalische Reize bewirken subjektive Empfindungen. Für einige Sinnessysteme kann man den Zusammenhang zwischen der Reizstärke (zB Schallintensität, Lichtstärke) und der erzeugten Empfindungs- stärke (zB Lautstärke, Helligkeit) näherungsweise durch das Weber-Fechner’sche Gesetz beschreiben: E(R) = k · ln​ 2 ​ R _ ​R​ 0 ​ ​ 3 ​für R º R 0 Dabei ist R die Reizstärke, E(R) die Empfindungsstärke zur Reizstärke R, k eine für das untersuchte Sinnessystem spezifische Konstante (k > 0) und R 0 die für das untersuchte Sinnessystem spezifische Reizschwelle (R 0 > 0). Aufgabenstellung: a) 1) Zeigen Sie, dass auf die Funktion E: R ¦ E(R) in [R​ 0 ; • ) Folgendes zutrifft: – E(R 0 ) = 0 und E(R) > 0 für R > R 0 . Daher ist die Bezeichnung „Reizschwelle“ für R 0 gerechtfertigt. – Die Funktion E ist in [R 0 ; • ) streng monoton steigend und rechtsgekrümmt. 2) Formulieren Sie im Kontext, was diese Eigenschaften in Bezug auf den Zusammenhang von Reizstärke und Empfindungsstärke bedeuten! b) Das Zuknallen einer Autotür verursacht nachts und tags dieselbe Änderung Δ R des Schallpegels, aber die durch Δ R bewirkte Zunahme Δ E = E(R + Δ R) – E(R) der Empfindungsstärke ist umso geringer, je höher der vorhandene Schallpegel ist. Bei einem niedrigen nächtlichen Schallpegel empfindet man Δ R als störenden Lärm, dagegen wird bei einem tagsüber hohen Schallpegel dasselbe Δ R kaum noch registriert. Dieser Sachverhalt kann allgemein so formuliert werden: Mit steigendem Reizniveau R bewirken gleiche Reizstärkenzuwächse Δ R immer geringere Zunahmen der Empfindungsstärke Δ E. 1) Zeigen Sie, dass die durch das Weber-Fechner’sche Gesetz festgelegte Funktion E diese Eigenschaft besitzt! 2) Leiten Sie aus der Gleichung E’(R) = ​ k _ R ​folgende Aussage her: Ist R > R 0 und der Reizstärkenzuwachs Δ R klein, dann ist der Empfindungsstärkenzuwachs Δ E näherungsweise direkt proportional zur relativen Reizstärkenzunahme ​ Δ R _ R ​. c) 1) Zeigen Sie, dass die Funktion E die einzige stetige Lösung der Gleichung f’(R) = ​ k _ R ​für R º R 0 mit f(R 0 ) = 0 ist! 2) In einem Lehrbuch der Physik findet sich folgender Merksatz: „ Das Weber-Fechner’sche Gesetz kann so formuliert werden: In geometrischer Folge wachsende Reizstärken verursachen in arithmetischer Folge wachsende Empfindungsstärken. “ Dies bedeutet: Wird die Reizstärke stets mit dem gleichen Faktor a (a > 1) multipliziert, so werden die zugehörigen Empfindungsstärken stets um den gleichen Betrag c (c > 0) erhöht. Weisen Sie die Gültigkeit dieser Aussage nach! AG-R 2 .1 FA-R 1 . 4 FA-R 1 . 5 AN-R 1 . 2 AN-R 2 .1 AN-R 3 .1 AN-R 3 . 3 Δ E Δ E’ R 0 R Δ R R’ Δ R E 0 E(R) R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv