Mathematik verstehen 8, Maturatraining

103 Typ 2 5 .12 Medizinischer Test In der Gesamtbevölkerung eines Landes schätzt man den relativen Anteil der Personen, bei denen eine bestimmte Stoffwechselkrankheit vorliegt, auf 2%. Zur Früherkennung dieser Krankheit wurde ein medizinisches Testverfahren entwickelt, über das folgende Informationen veröffentlicht wurden: – – Wenn bei einer Person die Stoffwechselkrankheit vorliegt, dann liefert der Test mit 95%-iger Wahrscheinlichkeit richtigerweise ein positives Testergebnis. – – Wenn bei einer Person die Stoffwechselkrankheit nicht vorliegt, dann liefert der Test mit 2,5%-iger Wahrscheinlichkeit fälschlicherweise trotzdem ein positives Testergebnis. Von einem „positiven Testergebnis“ spricht man, wenn der Test die Stoffwechselkrankheit anzeigt. Aus der Bevölkerung wird eine Person X zufällig ausgewählt und der Test durchgeführt. Folgende Ereignisse werden betrachtet: K: Bei der Person X liegt die Krankheit vor. pos: Die Person X hat ein positives Testergebnis. ¬K: Bei der Person X liegt die Krankheit nicht vor. neg: Die Person X hat ein negatives Testergebnis. Aufgabenstellung: a) Das nachstehende Baumdiagramm stellt diesen Zufallsversuch grafisch dar. 1) Beschriften Sie die Strecken mit den entsprechenden Wahrscheinlichkeitswerten und berechnen Sie, mit welcher Wahrscheinlichkeit die untersuchte Person ein positives Testergebnis aufweist! 2) Berechnen Sie, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass bei der untersuchten Person die Krankheit nicht vorliegt und auch der Test negativ ausfällt! b) Die Güte des Testverfahrens kann durch drei Wahrscheinlichkeitswerte beurteilt werden: die Sensitivität P(pos ‡ K), die Spezifität P(neg ‡ ¬K) und die Effizienz P((K ? pos) = (¬K ? neg)). 1) Beschreiben Sie die Ereignisse pos ‡ K, neg ‡ ¬K und ((K ? pos) = (¬K ? neg)) verbal im Sachzusammenhang und geben Sie die Sensitivität, Spezifität und Effizienz des vorliegenden Testverfahrens an! 2) Im Rahmen einer Reihenuntersuchung werden 2000 zufällig ausgewählte Personen dem Testverfahren unterzogen. Füllen Sie die folgende Vierfeldertafel mit den dabei zu erwartenden absoluten Fallzahlen aus! Testergebnis positiv Testergebnis negativ Summe Krankheit liegt vor Krankheit liegt nicht vor Summe 2000 c) Für P(K ‡ pos)) kann man folgende Formel herleiten: P(K ‡ pos)) = ​ P(K) ·P(pos ‡ K) ___ P(pos) ​. Bei einer Vorsorgeuntersuchung erhält eine Person den Befund: „Testergebnis positiv.“ 1) Berechnen Sie aufgrund dieses Testergebnisses die Wahrscheinlichkeit, dass bei dieser Person die Stoffwechselkrankheit tatsächlich vorliegt! 2) Beurteilen Sie aufgrund dieser Wahrscheinlichkeit die Aussagekraft des Testergebnisses! WS-R 1 . 2 WS-R 2 .1 WS-R 2 . 2 WS-R 2 . 3 K ¬ K pos neg pos neg Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv