Mathematik verstehen 8, Maturatraining

102 5 Aufgaben e) Die Funktion ​ _ K​mit ​ _ K(​x) = ​ K(x) _ x ​(x > 0) nennt man Stückkostenfunktion der Produktion. 1) Formulieren Sie in Worten, was ​ _ K​(x) im Sachzusammenhang angibt, und begründen Sie, dass ​ _ K​keine indirekte Proportionalitätsfunktion ist! 2) Zeigen Sie unter Verwendung der Ableitungsfunktion ​ _ K​’, dass die Stückkostenfunktion ​ _ K​für x > 0 streng monoton fallend ist, und begründen Sie, dass die ChemAG mit den kleinsten Stückkosten arbeitet, wenn sie an der Kapazitätsobergrenze (1 200ME) produziert! f) 1) Durch einen Konjunktureinbruch kann die ChemAG kurzfristig nur mit Verlust produzieren. Berechnen Sie, welche Mindestmenge des Kunststoffs monatlich produziert und auch verkauft werden muss, wenn der monatliche Verlust der Produktion höchstens 15GE betragen soll! 2) Die ChemAG beabsichtigt einen Konkurrenten vom Markt zu verdrängen und entschließt sich daher, ihr Produkt zu einem niedrigeren Preis pro ME anzubieten, als es dem Marktpreis entsprechen würde. Berechnen Sie den niedrigsten Preis pro ME, den die ChemAG verlangen muss, wenn die Kunststoffproduktion ohne Verlust arbeiten soll! 5 .11 Wasserrad In einem Parkteich befindet sich ein Rad, das sich entgegen dem Uhrzeigersinn dreht und zum Teil ins Wasser eintaucht. Das Rad hat einen Durchmesser von 4m und sein Drehpunkt D befindet sich 1m über der Wasseroberfläche. Ein Punkt P am Rand des Rades befindet sich zum Zeitpunkt t = 0 in der Position P 0 und führt in 40 Sekunden eine volle Drehung aus. Die Höhe h(t) des Punktes P über der Wasseroberfläche zum Zeitpunkt t lässt sich bei geeigneter Wahl eines Koordinatensystems durch eine Gleichung der folgenden Form beschreiben: h(t) = a· sin(b· t) + c (h(t) in Meter, t in Sekunden) Aufgabenstellung: a) 1) Wählen Sie ein geeignetes Koordinatensystem, mit dem sich a = 2, b = ​ π _ 20 ​und c = 1 ergibt! Zeichnen Sie das Koordinatensystem in die obige Abbildung ein und begründen Sie die Werte für a, b und c! 2) Ermitteln Sie für die erste Umdrehung den Zeitpunkt, zu dem der Punkt P in das Wasser eintaucht, sowie den Zeitpunkt, zu dem der Punkt P wieder aus dem Wasser auftaucht! Runden Sie die Zeitpunkte auf Zehntelsekunden! b) 1) Ermitteln Sie die Geschwindigkeit, mit der die Höhe des Punktes P nach fünf Sekunden zunimmt! 2) Kreuzen Sie die Aussage an, die auf die Funktion h zutrifft! In den ersten 20 Sekunden nimmt h zu.  Im Zeitintervall [10; 30] nimmt h linear ab.  Die Änderungsgeschwindigkeit von h ist konstant.  Im Wasser nimmt die Änderungsgeschwindigkeit von h stets ab.  Zu den Zeitpunkten t = 0 und t = 20 sind die Änderungsgeschwindigkeiten von h gleich groß.  Würde sich das Rad doppelt so schnell drehen, dann würde gelten: h(t) = 2· sin​ 2 ​ π _ 10 ​· t 3 ​+ 1  AG-R 4 . 2 FA-R 6 .1 FA-R 6 . 2 FA-R 6 . 3 AN-R 1 . 3 AN-R 2 .1 2 1 D P 0 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv