Mathematik verstehen 8, Maturatraining

101 Typ 2 5 .10 Kosten, Erlös und Gewinn Die ChemAG produziert einen Kunststoff. Über diese Produktion liegen folgende Informationen vor: – – Die maximale monatliche Produktionsmenge (= Kapazitätsobergrenze) beträgt 1 200 Mengeneinheiten (ME). – – Die Produktionskosten K(x) in Abhängigkeit von der Produktionsmenge x können durch eine lineare Funktion modelliert werden. Dabei werden die Produktionskosten in Geldeinheiten (GE) und die Produktionsmenge x in Mengeneinheiten (ME) angegeben. Die Betriebsstatistik der ChemAG liefert folgende Tabelle zu den Produktionskosten: Produktionsmenge x in (ME) 200 400 500 700 800 Produktionskosten K(x) in (GE) 40 50 55 60 70 – – Aufgrund der Marktsituation kann man zum Marktpreis jede beliebige Menge des Kunststoffs verkaufen. Die Erlösfunktion E: x ¦ E(x), die jeder verkauften Kunststoff- menge x (in ME) den erzielten Erlös (Umsatz) E(x) (in GE) zuordnet, ist in der neben­ stehenden Abbildung veranschaulicht. Aufgabenstellung: a) In der oben angeführten Tabelle zu den Produktionskosten entspricht ein Zahlenpaar (x 1 K(x)) nicht einer linearen Modellierung von K, weil K(x) falsch übermittelt worden ist. 1) Korrigieren Sie die nachstehende Tabelle entsprechend! Produktionsmenge x in (ME) 200 400 500 700 800 Produktionskosten K(x) in (GE) 2) Zeigen Sie, dass K(x) = 0,05· x + 30, interpretieren Sie die Zahlen 0,05 und 30 im Sachzusammenhang und zeichnen Sie den Graphen der Funktion K in die obige Abbildung ein! b) 1) Erklären Sie, wie man anhand des Graphen von E zur Termdarstellung E(x) = 0,09· x kommt, und deuten Sie die Steigung des Graphen von E im Sachzusammenhang! 2) Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an! Die Erlösfunktion E ist linear.  Jede Steigerung der verkauften Menge x um 10% erhöht den Erlös E(x) auf 110%.  Jede Steigerung der verkauften Menge x um 10ME erhöht den Erlös E(x) um 110GE.  Der erzielte Erlös E(x) und die verkaufte Menge x sind zueinander indirekt proportional.  Der Preis pro ME des Kunststoffs nimmt mit wachsender Verkaufsmenge x zu.  c) 1) Ermitteln Sie grafisch und rechnerisch die Koordinaten des Schnittpunkts der Graphen der Funktionen E und K! 2) Interpretieren Sie die Koordinaten des Schnittpunkts im Kontext! d) Die Gewinnfunktion G ordnet jeder monatlichen Produktionsmenge x den Gewinn G(x) zu. 1) Zeigen Sie, dass G(x) = 0,04· x – 30, und tragen Sie auch den Graphen von G in die obige Abbildung ein! 2) Berechnen Sie den maximalen monatlichen Gewinn der Kunststoffproduktion! AG-R 2 . 4 FA-R 1 . 3 FA-R 1 . 4 FA-R 1 . 6 FA-R 1 . 7 FA-R 2 .1 FA-R 2 . 2 FA-R 2 . 3 FA-R 3 . 4 AN-R 1 .1 AN-R 3 . 3 x (in ME) E(x) (in GE) 200 400 600 800 1 000 1 200 1 400 1 600 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 – 30 – 20 – 10 0 E Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv