Mathematik verstehen 8, Schulbuch

99 6 .1 Einsei t ige Antei lstests In der letzten Aufgabe haben wir die Wahrscheinlichkeit für einen Irrtum des Abnehmers berechnet, den dieser begeht, wenn er die Behauptung der Herstellerfirma verwirft, obwohl diese Recht hat. Wenn der Abnehmer diese Irrtumswahrscheinlichkeit, also das Risiko einer Fehlentscheidung, für „genügend klein“ ansieht, wird er die Behauptung der Herstellerfirma mit einem gewissen Recht verwerfen können. Aber wann ist die errechnete Irrtumswahrschein lichkeit wirklich „genügend klein“? Diese Frage kann nicht eindeutig beantwortet werden. Ob eine Irrtumswahrscheinlichkeit als „genügend klein“ bewertet wird, ist subjektiv. In der statistischen Praxis hat sich aber durch gesetzt, eine Irrtumswahrscheinlichkeit als „genügend klein“ zu bewerten, wenn sie höchstens 0,05 (bzw. manchmal 0,01) beträgt. Man bezeichnet die Zahl 0,05 (bzw. 0,01) als maximal zugelassene Irrtumswahrscheinlichkeit . Lässt man in Aufgabe 6.01 eine Irrtumswahrscheinlichkeit von maximal 0,05 zu, dann kann we- gen P(H º 2) > 0,05 die Behauptung der Herstellerfirma nicht verworfen werden, weil die Irrtums- wahrscheinlichkiet P(H º 2) mehr als 0,05 beträgt. Einseitige Anteiltests Wir beschreiben die Schritte in der letzten Aufgabe allgemein: Mittels einer Stichprobe vom Umfang n soll geprüft werden, ob der relative Anteil p eines Merkmals (z.B. der unbrauchbaren Minen) einen bestimmten Wert p 0 hat oder ob dieser Wert größer als p 0 ist. Dabei werden zwei Hypothesen einander gegenübergestellt: Nullhypothese H 0 : p = p 0 Alternativhypothese H 1 : p > p 0 (Behauptung der Herstellerfirma) (Vermutung des Abnehmers) Vor der Erhebung der Stichprobe legt man eine maximal zugelassene Irrtumswahrschein lichkeit α fest. Diese gibt an, wie hoch das Risiko einer Fehlentscheidung höchstens sein darf. Man bezeichnet α als Signifikanzzahl oder Signifikanzniveau . (Meist wählt man α = 0,05 bzw. bei gravierenden Folgen von Fehlentscheidungen α = 0,01 oder eine noch kleinere Zahl.) Dann wird die Stichprobe erhoben und der sich ergebende Wert für die absolute Häufigkeit H des Merkmals (z.B. der unbrauchbaren Minen) in dieser Stichprobe festgehalten: H = k (mit 0 ª k ª n). Verwirft man die Nullhypothese H 0 bei einem Stichprobenergebnis H º k, begeht man einen Irrtum, falls die Nullhypothese H 0 doch gilt. Die Wahrscheinlichkeit P(H º k) für diesen Irrtum kann man mit der Binomialverteilung von H mit den Parametern n und p 0 ermitteln. Ist diese Irrtumswahrscheinlichkeit höchstens gleich α , geht man das vorher festgelegte Risiko ein und darf die Nullhypothese H 0 verwerfen. Dieses Vorgehen bezeichnet man als einen einseitigen Anteiltest mit der Signifikanz α (bzw. auf dem α -Signifikanzniveau ). Man sagt auch: Man testet die Nullhypothese H 0 mit der Signifi- kanz α . Das Wort „einseitig“ rührt daher, dass die Alternativhypothese H 1 in der Form p > p 0 bzw. p < p 0 formuliert wird, dh. dass nur einseitige Abweichungen des relativen Anteils p betrachtet werden. Lautet die Alternativhypothese H 1 : p > p 0 , sprechen wir von einem rechtsseitigen Anteilstest . In diesem Fall ist die Irrtumswahrscheinlichkeit P(H º k) zu berechnen. Lautet die Alternativhypothese H 1 : p < p 0 , sprechen wir von einem linksseitigen Anteilstest . In diesem Fall ist die Irrtumswahrscheinlichkeit P(H ª k) zu berechnen. L Nur zu Prüfzwecken – Ei entum des Verlags öbv