Mathematik verstehen 8, Schulbuch

93 5 . 2 Konf idenz intervalle 5 .14 Für den unbekannten relativen Anteil p der Wähler der Partei „ Gemeinsam “ soll durch eine genügend große Stichprobe ein 95%-Konfidenzintervall der Länge 0,04 gefunden werden. Ermittle, wie groß der Stichprobenumfang n sein muss, wenn 1) eine Vorerhebung gezeigt hat, dass ca. 38% die Partei „ Gemeinsam “ wählen wollen, 2) keine Vorerhebung existiert. Lösung: Für die Länge des 95%-Konfidenzintervalls gilt: 0,04 ≈ 2 · 1,96 · 9 _____ h · (1 – h) __ n (mit unbekanntem h) Daraus folgt: n ≈ 9604 · h · (1 – h) 1) Für h ≈ 0,38 erhält man: n ≈ 9604 · 0,38 · 0,62 ≈ 2263 2) Für h = 0,5 erhält man: n ≈ 9604 · 0,5 · 0,5 ≈ 2402 Aufgaben 5 .15 Durch eine Erhebung soll für die Region Donau - Alpe-Adria der Prozentsatz der Haushalte geschätzt werden, die einen Internetanschluss besitzen. Wie viele Haushalte müssen zufällig ausgewählt und befragt werden, damit man für diesen Prozentsatz ein 95%-Konfidenzintervall der Länge 0,04 angeben kann, wenn a) eine frühere Erhebung ergeben hat, dass 64% einen Internetanschluss besitzen, b) keine früheren Erhebungen vorliegen? 5 .16 Für den relativen Anteil der Befürworter von längeren Geschäftsöffnungszeiten in der Bevölkerung soll ein 95%-Konfidenzintervall der Länge 0,02 angegeben werden. 1) Wie viele Personen müssen mindestens befragt werden, wenn kein Schätzwert für den untersuchten Anteil bekannt ist? 2) Nach einer Telefonumfrage mit 250 Personen ist bekannt, dass h ≈ 0,4 ist. Wie viele Personen müssen aufgrund dieses Ergebnisses befragt werden? Wie groß ist die relative Ersparnis an notwendigen Befragungen im Vergleich zu 1) ? Zusammenhänge von γ , n und d Für ein durch eine Stichprobe vorgegebenes h gelten die Formeln: (1) d ≈ 2 · z · 9 _____ h · (1 – h) __ n mit Φ( z) = 1 + γ _ 2 (2) n ≈ 4z 2 · h · (1 – h) ___ d 2 mit Φ( z) = 1 + γ _ 2 Damit kann man die auf Seite 90 formulierten Zusammenhänge zwischen n, γ und d begründen: a) Für konstantes n gilt: γ wird größer É d wird größer b) Für konstantes γ gilt: n wird größer É d wird kleiner c) Für konstantes d gilt: γ wird größer É n wird größer Begründung: a) Nach (1) gilt: γ wird größer É Φ( z) = 1 + γ _ 2 wird größer É z wird größer É d wird größer b) Nach (1) gilt: n wird größer É 9 _____ h · (1 – h) __ n wird kleiner É d wird kleiner c) Nach (2) gilt: γ wird größer É Φ( z) = 1 + γ _ 2 wird größer É z wird größer É n wird größer  R R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlag öbv