Mathematik verstehen 8, Schulbuch

92 5 Schätzen von Antei len Wie groß ist die Sicherheit eines Konfidenzintervalls? 5 .11 Vor einer Wahl wird der prozentuelle Stimmenanteil p der Zukunftspartei ZP geschätzt. In einer Stichprobe von 2000 Wahlberechtigten ergibt sich, dass 34% der Befragten die ZP wählen wol - len. Daraufhin gibt die Morgenzeitung das Konfidenzintervall [0,32; 0,36] und die konkurrierende Abendzeitung das Konfidenzintervall [0,33; 0,35] für p an. Ermittle, mit welcher Sicherheit jede der beiden Zeitungen ihre Behauptung aufstellen kann! Lösung: Beide Zeitungen gehen vom Stichprobenergebnis h = 0,34 aus. Wir berechnen zuerst γ für die Morgenzeitung . Für die Länge des Konfidenzintervalls der Morgenzeitung gilt: 0,04 = 2 · z · 9 _____ 0,34 · 0,66 __ 2000 , daraus folgt z ≈ 1,89 und anhand der Tabelle auf Seite 251 erhält man Φ( z) ≈ 0,9706. Wegen Φ( z) = 1 + γ _ 2 ergibt sich nach Umformung γ = 2 · Φ( z) – 1 ≈ 0,94 Analog berechnet man für die Abendzeitung : γ ≈ 0,65 Die Prognose der Morgenzeitung ist weniger genau, dafür aber mit 94% recht sicher. Dagegen „bezahlt“ die Abendzeitung ihre genauere Prognose mit dem viel höheren Risiko einer Fehlprognose von 35%. Aufgaben 5 .12 Eine Befragung von 1 000 zufällig ausgewählten Männern ergab, dass sich 30% elektrisch rasie - ren. Daraufhin gibt die Marktforscherin A das Konfidenzintervall [0,28; 0,32], die Marktforscherin B das Konfidenzintervall [0,29; 0,31] für den unbekannten relativen Anteil p der sich elektrisch ra- sierenden Männer in der zu Grunde liegenden männlichen Bevölkerung an. Ermittle für jede der beiden Marktforscherinnen, mit welcher Sicherheit diese ihre Behauptung aufstellen kann! 5 .13 Ein Pharmakonzern behauptet in einem Werbespot: „20% aller Senioren haben Venenprobleme“. Er stützt sich dabei auf eine Befragung von 500 zufällig ausgewählten Senioren. Ermittle die Si- cherheit, mit der man für den unbekannten Prozentsatz der Senioren mit Venenproblemen in der Gesamtbevölkerung das Konfidenzintervall a) [0,18; 0,22], b) [0,15; 0,25] angeben kann! Wie groß muss der Stichprobenumfang sein? Satz: Soll für den unbekannten relativen Anteil p eines Merkmals in einer Grundgesamtheit mittels einer großen Stichprobe ein γ -Konfidenzintervall der vorgegebenen Länge d ermittelt werden, dann gilt für den erforderlichen Stichprobenumfang: n ≈ 4z 2 · h · (1 – h) ___ d 2 mit Φ (z) = 1 + γ _ 2 Dabei ist h die vorweg noch unbekannte relative Häufigkeit des Merkmals in der zu erhebenden Stichprobe. Den Wert von h schätzt man aufgrund des Ergebnisses einer Vorhebung, falls eine solche vorliegt. Andernfalls setzt man am besten h = 0,5. Beweis : Die Länge d des Konfidenzintervalls beträgt d ≈ 2 · z · 9 _____ h · (1 – h) __ n mit Φ( z) = 1 + γ _ 2 . Daraus ergibt sich: n ≈ 4z 2 · h · (1 – h) ___ d 2 mit Φ( z) = 1 + γ _ 2 Liegt aufgrund einer Vorhebung ein Schätzwert für p vor, so verwendet man diesen Schätzwert als Näherungswert für h. Andernfalls ermittelt man sicherheitshalber ein h * [0; 1] so, dass der erforderliche Stichprobenumfang n entsprechend der angeführten Formel für n möglich groß ist. Das ist genau dann der Fall, wenn das Produkt h · (1 – h) maximal ist. Zeige selbst, dass die Funktion f mit f(h) = h · (1 – h) ihren größten Wert im Intervall [0; 1] für h = 0,5 annimmt!  R kompakt Seite 94 R R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv