Mathematik verstehen 8, Schulbuch

90 5 Schätzen von Antei len Diese Deutung ist nebenstehend für ein 95%-Konfidenzintervall veranschaulicht. Da der Wert h der relativen Häufigkeit des Merkmals von Stichprobe zu Stichprobe zufälligen Schwankun- gen unterliegt, erhält man im Allgemeinen unterschiedliche Konfidenzintervalle, die durch verschieden lange Strecken dar- gestellt sind. Von diesen werden ca. 95% den relativen Anteil p in der Grundgesamtheit überdecken. Geht man von einer vorgegebenen relativen Häufigkeit h in der Stichprobe aus (dh. hält man h konstant), kann man fragen, wie die Sicherheit γ , der Stichprobenumfang n und die Länge d des Konfidenzintervalls miteinander zusammenhängen. Die folgenden Zusammenhänge sind intuitiv einsichtig, wir werden sie aber auf Seite 93 anhand von Formeln noch genauer begründen. n konstant Sicherheit γ wird größer Länge d des Konfidenzintervalls wird größer γ konstant Stichprobenumfang n wird größer Länge d des Konfidenzintervalls wird kleiner d konstant Sicherheit γ wird größer Stichprobenumfang n wird größer Näherungsweise Berechnung eines Konfidenzintervalls Satz Ist h die relative Häufigkeit eines Merkmals in einer Stichprobe von großem Umfang n, dann gilt für den relativen Anteil p des Merkmals in der Grundgesamtheit: γ -Konfidenzintervall für p ≈ ​ 4 h – z · ​ 9 _____ ​ h · (1 – h) __ n ​​; h + z · ​ 9 _____ ​ h · (1 – h) __ n ​​ 5 ​ mit Φ (z) = ​ 1 + γ _ 2 ​ Beweis : p * γ -Konfidenzintervall É  zugehöriger γ -Schätzbereich überdeckt den in der Stichprobe beobachteten Wert h É É p – z · ​ 9 _____ ​ p · (1 – p) _ n ​​ª h ª p + z · ​ 9 _____ ​ p · (1 – p) __ n ​​ ​ 2 wobei Φ (z) = ​ 1 + γ _ 2 ​ 3 ​ Um Schranken für p zu erhalten, müsste man die beiden Ungleichungen nach p auflösen, was auf das aufwändige Lösen zweier quadratischer Ungleichungen führen würde. Begnügt man sich mit einer Näherung für das Konfidenzintervall, kann man den Rechenaufwand so vereinfachen: Der Wurzelausdruck ist klein, wenn man n groß voraussetzt. Er ändert sich also nicht sehr, wenn man in ihm den relativen Anteil p in der Grundgesamtheit durch die relative Häufigkeit h in der Stichprobe ersetzt. Dadurch erhält man näherungsweise: p * γ -Konfidenzintervall É p – z · ​ 9 _____ ​ h · (1 – h) __ n ​​ª h ª p + z · ​ 9 _____ ​ h · (1 – h) __ n ​​ Durch algebraische Umformung der beiden Ungleichungen ergibt sich näherungsweise: p * γ -Konfidenzintervall É h – z · ​ 9 _____ ​ h · (1 – h) __ n ​​ª p ª h + z · ​ 9 _____ ​ h · (1 – h) __ n ​​ (Rechne nach!) Somit ist das Intervall ​ 4 h – z · ​ 9 _____ ​ h · (1 – h) __ n ​​; h + z · ​ 9 _____ ​ h · (1 – h) __ n ​​ 5 ​(zumindest näherungsweise) das gesuchte γ -Konfidenzintervall.  Bemerkung: Diesen Satz kann man sich leicht merken, denn er geht aus dem entsprechenden Satz für den γ -Streubereich für h auf Seite 87 durch Vertauschung von p und h hervor. 1. Stichprobe 2. Stichprobe 3. Stichprobe 4. Stichprobe 5. Stichprobe p R kompakt Seite 94 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des V rlags öbv