Mathematik verstehen 8, Schulbuch

9 1 .1 Stammfunkt ionen Satz: Sind F und G Stammfunktionen der Funktionen f: A ¥ ℝ bzw. g: A ¥ ℝ , dann ist (1) die Funktion F + G eine Stammfunktion der Funktion f + g, (2) die Funktion F – G eine Stammfunktion der Funktion f – g, (3) die Funktion k · F eine Stammfunktion der Funktion k · f, (wobei k * ℝ ). Beweis : Für alle x * A gilt: (1) (F + G)’(x) = F’(x) + G’(x) = f(x) + g(x) = (f + g)(x) (2) (F – G)’(x) = F’(x) – G’(x) = f(x) – g(x) = (f – g)(x) (3) (k · F)’(x) = k · F’(x) = k · f(x) = (k · f)(x)  Die Regel (1) dieses Satzes lässt sich so verallgemeinern: Satz: Sind F 1 , F 2 , …, F n Stammfunktionen der Funktionen f 1 , f 2 , …, f n , dann ist die Funktion F 1 + F 2 + … + F n eine Stammfunktion der Funktion f 1 + f 2 + … + f n . Beweis : Für alle x aus dem gemeinsamen Definitionsbereich dieser Funktionen gilt: (F 1 + F 2 + … + F n ) ’(x) = F’ 1 (x) + F’ 2 (x) + … + F ’ n (x) = f 1 (x) + f 2 (x) + … + f n (x) = = (f 1 + f 2 + … + f n )(x)  Stammfunktionen von Polynomfunktionen Mit Hilfe der bisher bewiesenen Sätze können wir zu jeder Polynomfunktion eine Stammfunktion ermitteln. Ist f eine Polynomfunktion mit f(x) = a n x n + a n – 1 x n – 1 + … + a 1 x + a 0 , dann ist die folgende Funktion F eine Stammfunktion von f: F(x) = a n _ n + 1 x n + 1 + a n – 1 _ n x n + … + a 1 _ 2 x 2 + a 0 x Überprüfe dies selbst durch Differenzieren! Stammfunktionen von rationalen Funktionen Rationale Funktionen kann man mit Hilfe der Quotientenregel problemlos differenzieren, es gibt aber für rationale Funktionen keine allgemeine Regel zur Ermittlung von Stammfunktionen. In einigen Fällen kann man eine Stammfunktion finden, wenn man den Funktionsterm in geeig- neter Weise umformt, wie die nächste Aufgabe zeigt. 1 . 03 Ermittle eine Stammfunktion der Funktion f mit f(x) = x 2 – 1 _ x 2 ! Lösung: f(x) = x 2 – 1 _ x 2 = 1 – 1 _ x 2 = 1 – x – 2 w F(x) = x – x –1 _ –1 = x + 1 _ x Wie man am Beispiel der Funktion f mit f(x) = 1 _ x sieht, muss eine Stammfunktion einer rationalen Funktion selbst keine rationale Funktion sein. Aufgaben 1 . 04 Ermittle eine Stammfunktion der Funktion f: ℝ ¥ ℝ ! a) f(x) = 1 c) f(x) = x 2 e) f(x) = a (mit a > 0) g) f(x) = 0 b) f(x) = – 1 _ 2 d) f(x) = – x 4 f) f(x) = – a (mit a > 0) h) f(x) = x 1 . 05 Ermittle eine Stammfunktion der Funktion f: ℝ ¥ ℝ ! a) f(x) = x 2 – 3x c) f(x) = 2x 4 – x 2 + x + 1 b) f(x) = x 3 + 4x 2 – x d) f(x) = x 5 – x 4 + x 3 – x 2 + x – 1 R kompakt Seite 22 R R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv