Mathematik verstehen 8, Schulbuch

89 5 . 2 Konf idenz intervalle 5 . 2 Konfidenzintervalle Schätzung eines relativen Anteils in einer Grundgesamtheit Wir behandeln nun die zweite der auf Seite 86 gestellten Fragen. Die relative Häufigkeit eines Merkmals in einer Stichprobe vom Umfang n beträgt h. Welcher relative Anteil p des Merkmals ergibt sich daraus schätzungsweise in der Grundgesamtheit? Diese Frage kann man auf zwei Arten beantworten. Man kann den bekannten Wert h als Schätz- wert für den unbekannten Wert von p nehmen, was aber nicht sehr verlässlich ist. Besser ist es, ein Intervall anzugeben, das den unbekannten Wert von p mit einer vorgegebenen Wahrschein- lichkeit γ enthält. Wie kommt man zu einem solchen Intervall? In der Statistik ist folgendes Vorgehen üblich: Zu jedem Schätzwert p gehört ein γ -Streubereich für h. Einen Schätzwerte für p sieht man als „guten Schätzwert“ an, wenn der dazugehörige γ -Streubereich den in der Stichprobe beobachte- ten Wert h überdeckt. Nebenstehend sind einige Schätzwerte p (schwarze Punkte) sowie die dazugehörigen γ -Streubereiche dargestellt, die alle h überdecken. Die zu p​ ​ 1 ​bzw. ​p​ 2 ​gehörigen γ -Streubereiche überdecken h gerade noch. Man erkennt, dass die Schätzwerte p, deren γ -Streu­ bereiche h überdecken, das Intervall [p​ ​ 1 ;​ p​ ​ 2 ​] bilden. Dieses Intervall erhält einen eigenen Namen: Definition Zur Schätzung des unbekannten relativen Anteils p eines Merkmals in einer Grundgesamtheit wird eine Stichprobe von großem Umfang n erhoben. Ist h die relative Häufigkeit des Merkmals in der Stichprobe, dann bezeichnet man die Menge aller Schätzwerte für p, deren zugehörige γ -Streubereiche den Wert h überdecken, als Konfidenzintervall mit der Sicherheit γ oder kurz als γ -Konfidenzintervall für p. (Ein Konfidenzintervall bezeichnet man auch als Vertrauensintervall , die Sicherheit bezeichnet man auch als Konfidenzniveau .) Meist wählt man γ = 0,95 oder γ = 0,99 . Ein γ -Konfidenzintervall mit γ = 0,95 bezeichnet man auch als 0,95-Konfidenzintervall bzw. 95%-Konfidenzintervall , ein γ -Konfidenzintervall mit γ = 0,99 auch als 0,99-Konfidenzintervall bzw. 99%-Konfidenzintervall . Leider kann man nicht mit Sicherheit sagen, dass der unbekannte relative Anteil p im Konfidenz- intervall liegt. Das Konfidenzintervall hängt ja von der relativen Häufigkeit h des Merkmals in der Stichprobe ab und h kann zufällig von p so stark abweichen, dass p tatsächlich außerhalb des Konfidenzintervalls liegt. Man kann aber sagen, dass das γ -Konfidenzintervall das unbekannte p mit der Wahrscheinlichkeit γ enthält. Diese Aussage kann man so interpretieren: Frequentistische Deutung eines Konfidenzintervalls: Würde man sehr oft Stichproben vom Um- fang n erheben, so würden in ca. (100 · γ )% aller Stichproben die dabei ermittelten γ -Konfidenzintervalle das unbekannte p enthalten. Beispielsweise gilt für ein 95%-Konfidenzintervall: Würde man sehr oft Stichproben vom Umfang n erheben, so würden in ca. 95% aller Stichproben die dabei ermittelten 0,95-Konfidenzintervalle das unbekannte p enthalten. R 0 p 1 p 2 h 1 Konfidenzintervall kompakt Seite 94 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv