Mathematik verstehen 8, Schulbuch

87 5 .1 Streubereiche Streuung der relativen Häufigkeit in einer Stichprobe Der relative Anteil eines Merkmals in einer Grundgesamtheit beträgt p. Welche relative Häufig- keit h des Merkmals ergibt sich daraus voraussichtlich in einer Stichprobe vom Umfang n? Wir fassen die relative Häufigkeit h des Merkmals in einer Stichprobe vom Umfang n als Zufalls- variable auf. Man könnte den bekannten Wert p als voraussichtlichen Wert für den unbekannten Wert von h nehmen. Dieses Vorgehen ist aber nicht sehr verlässlich, weil h in der Stichprobe von p zufällig stark abweichen kann. Besser ist es, ein Intervall anzugeben, in dem der unbekannte Wert von h mit einer vorgegebenen Wahrscheinlichkeit γ zu erwarten ist. Definition Der bekannte relative Anteil eines Merkmals in einer Grundgesamtheit beträgt p. Es wird eine Stichprobe vom vorgegebenen Umfang n erhoben. Das symmetrisch um p liegende Intervall, welches die unbekannte relative Häufigkeit h des Merkmals in der Stichprobe mit der Wahr- scheinlichkeit γ enthält, heißt γ -Streubereich für h (bzw. γ -Schätzbereich für h). Meist wählt man γ = 0,95 oder γ = 0,99 . Einen γ -Streubereich für h mit γ = 0,95 bezeichnet man auch als 0,95-Streubereich oder 95%-Streubereich für h, einen γ -Streubereich für h mit γ = 0,99 auch als 0,99-Streubereich oder 99%-Streubereich für h. Einen γ -Streubereich kann man näherungsweise so berechnen: Man ersetzt die Binomialvertei- lung der absoluten Häufigkeit H durch die Normalverteilung mit μ = n · p und σ = ​ 9 _______ n · p · (1 – p)​ (sofern die Faustregel erfüllt ist). Dann ermittelt man ein symmetrisches Intervall um μ , in dem H mit der Wahrscheinlichkeit γ liegt. Dividiert man die Intervallgrenzen durch n, so erhält man das entsprechende Intervall für h. Eine andere näherungsweise Berechnungsmöglichkeit liefert der folgende Satz. Satz Ist p der relative Anteil eines Merkmals in einer Grundgesamtheit, dann gilt für die relative Häu- figkeit h des Merkmals in einer Stichprobe von großem Umfang n: γ -Streubereich für h ≈ ​ 4 p – z · ​ 9 _____ ​ p · (1 – p) __ n ​​; p + z · ​ 9 _____ ​ p · (1 – p) __ n ​​ 5 ​ mit Φ (z) = ​ 1 + γ _ 2 ​ Beweis : Die absolute Häufigkeit H des untersuchten Merkmals in Stichproben vom Umfang n ist binomi- alverteilt mit den Parametern n und p. Wir setzen n genügend groß voraus, sodass die Zufallsva- riable H näherungsweise normalverteilt mit μ = n · p und σ = ​ 9 _______ n · p · (1 – p)​ist. Wir ermitteln ein symmetrisches Intervall um μ , das H mit der Wahrscheinlichkeit γ enthält: P( μ – z · σ ª H ª μ + z · σ ) = γ (= 2 · Φ( z) – 1) P​ 2 n · p – z · ​ 9 _______ n · p · (1 – p)​ ª H ª n · p + z · ​ 9 _______ n · p · (1 – p)​ 3 ​= γ Dividieren wir die Ungleichungskette in der Klammer durch n, so ergibt sich: P​ 2 p – z · ​ 9 _____ ​ p · (1 – p) __ n ​​ª h ª p + z · ​ 9 _____ ​ p · (1 – p) __ n ​​ 3 ​≈ γ Somit erhalten wir: γ -Streubereich für h ≈ ​ 4 p – z · ​ 9 _____ ​ p · (1 – p) __ n ​​; p + z · ​ 9 _____ ​ p · (1 – p) __ n ​​ 5 ​. Aus γ = 2 · Φ( z) – 1 folgt Φ( z) = ​ 1 + γ _ 2 ​.  R kompakt Seite 94 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv