Mathematik verstehen 8, Schulbuch

8 1 Stammfunkt ion und Integral Im letzten Satz ist die Voraussetzung, dass I ein Intervall ist, wesentlich. Ist der Definitions bereich von f kein Intervall ist, muss nicht jede Stammfunktion von f von der Form F(x) = F 0 (x) + c sein, wie das folgende Beispiel zeigt. BEISPIEL : Gegeben ist die Funktion f: ℝ * ¥ ℝ mit f(x) = – 1 _ x 2 . Wir betrachten folgende Funktionen: F 1 : ℝ * ¥ ℝ mit F 1 (x) = 1 _ x F 2 : ℝ * ¥ ℝ mit F 2 (x) = {   1 _ x + 1 für x < 0 1 _ x für x > 0 Beide Funktionen sind Stammfunktionen von f, denn es gilt: F ’ 1 (x) = F’ 2 (x) = – 1 _ x 2 für alle x * ℝ *. Aber wie man an den Graphen sieht, gibt es kein c * ℝ , sodass F 2 (x) = F 1 (x) + c für alle x * ℝ * gilt. Einige Stammfunktionen Funktion eine Stammfunktion Beweis f(x) = k (mit k * R ) F(x) = k · x F’(x) = k = f(x) f(x) = x r (mit r * R , r ≠ –1) F(x) = x r + 1 _ r + 1 F’(x) = 1 _ r + 1 · (r + 1) · x r = x r = f(x) f(x) = sin x F(x) = – cos x F’(x) = – (– sin(x)) = sin(x) = f(x) f(x) = cos x F(x) = sin x F’(x) = cos(x) = f(x) f(x) = e x F(x) = e x F’(x) = e x = f(x) f(x) = a x (mit a * R + , a ≠ 1) F(x) = a x _ lna F’(x) = 1 _ lna · a x · lna = a x = f(x) f(x) = 1 _ x (für x > 0) F(x) = ln(x ) F’(x) = 1 _ x = f(x) Summen, Differenzen und Vielfache von Funktionen Definition Sind f: A ¥ ℝ und g: A ¥ ℝ reelle Funktionen, dann setzt man: (1) f + g: A ¥ ℝ mit (f + g)(x) = f(x) + g(x) (2) f – g: A ¥ ℝ mit (f – g)(x) = f(x) – g(x) (3) k · f: A ¥ ℝ mit (k · f)(x) = k · f(x) (mit k * ℝ ) Die Definition (1) lässt sich so verallgemeinern: Sind f 1 , f 2 …, f n reelle Funktionen von A nach ℝ , dann setzt man: f 1 + f 2 + … + f n : A ¥ ℝ mit (f 1 + f 2 + … + f n )(x) = f 1 (x) + f 2 (x) + … + f n (x) x F 1 (x) 1 2 3 – 3 – 2 – 1 1 2 – 3 – 2 – 1 0 x F 2 (x) 1 2 3 – 3 – 2 – 1 1 2 – 3 – 2 – 1 0 R R Nur zu Prüfzwecken – Eige tum des Verlags öbv