Mathematik verstehen 8, Schulbuch

78 4 Die Normalvertei lung Dieser Satz ist nicht sehr genau formuliert, weil nicht klar ist, was „genügend groß“ und „nähe- rungsweise“ bedeuten soll. Für die Praxis hat sich jedoch folgende Faustregel für die Approxima- tion einer Binomialverteilung durch die passende Normalverteilung als brauchbar herausgestellt: Faustregel: Eine Binomialverteilung darf näherungsweise durch eine Normalverteilung ersetzt werden, wenn n · p · (1 – p) > 9 gilt. Wir können nun Aufgabe 4.55 mit Hilfe einer Normalverteilung näherungsweise lösen: 4 . 56 Eine Münze wird 100000-mal geworfen. Ermittle die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens 49800-mal „Zahl“ kommt! Lösung: Die absolute Häufigkeit H für „Zahl“ bei 100000 Würfen ist binomialverteilt mit n = 100000 und p = 0,5. Überprüfen der Faustregel: n · p · (1 – p) = 100000 · 0,5 · 0,5 = 25000 > 9 Wir ersetzen die Binomialverteilung von H näherungsweise durch eine Normalverteilung mit μ = 100000 · 0,5 = 50000 und σ = 9 _________ 100000 · 0,5 · 0,5≈ 158,11. Wir erhalten mit Technologieeinsatz bzw. der Tabelle auf Seite 251: P(H ª 49800) ≈ 0,103 Aufgaben 4 . 57 Eine Münze wird 500-mal geworfen. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass „Zahl“ a) mindestens 230-mal, b) höchstens 270-mal, c) mindestens 230-mal und höchstens 270-mal kommt! 4 . 58 Ein Würfel wird 2000-mal geworfen. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass der Sechser a) mindestens 360-mal, b) höchstens 300-mal, c) mindestens 320-mal und höchstens 340-mal kommt! 4 . 59 Eine Münze wird 1 000-mal geworfen. H zählt die Anzahl von „Kopf“ in einer solchen Wurfserie. Ermittle ein symmetrisches Intervall um den Erwartungswert μ von H, in dem H voraussichtlich in 75% aller Wurfserien liegt! 4 . 60 Ein Würfel wird 1 000-mal geworfen. H zählt die Anzahl der Sechser in einer solchen Wurfserie. Ermittle ein symmetrisches Intervall um den Erwartungswert μ von H, in dem H voraussichtlich in 80% aller Wurfserien liegt! 4 . 61 Ein Glücksrad ist in drei gleich große Sektoren A, B und C geteilt. Man gewinnt nur im Sektor A. Das Glücksrad wird 1 600-mal gedreht. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass man a) mindestens 600-mal, b) mindestens 500-mal und höchstens 540-mal gewinnt! 4 . 62 Auf einem Spielautomaten gewinnt man mit der Wahrscheinlichkeit 0,4. Der Automat wird 10000- mal betätigt. H zählt die Anzahl der Gewinne in einer solchen Spielserie. Ermittle ein symmetri- sches Intervall um den Erwartungswert μ von H, in dem H mit der Wahrscheinlichkeit 0,9 ® iegt! 4 . 63 Von 10000 Losen sind 500 Gewinnlose. Es werden 1 300 Lose gezogen. H ist die Anzahl der gezogenen Gewinnlose. 1) Berechne den Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ von H! 2) Ermittle die Wahrscheinlichkeit, dass man mindestens 50 Gewinnlose erhält! R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verl gs öbv