Mathematik verstehen 8, Schulbuch

77 4 . 4 Approximat ion der Binomialvertei lung durch die Normalvertei lung Approximation der Binomialverteilung durch die Normalverteilung 4 . 55 Eine Münze wird 100000-mal geworfen. Ermittle die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens 49800-mal „Zahl“ kommt! Lösungsversuch: Die absolute Häufigkeit H für „Zahl“ bei 100000 Würfen ist binomialverteilt mit n = 100000 und p = 0,5. Die Berechnung von P(H ª 49800) mit Technologieeinsatz hängt zwar von der verwende- ten Software ab, wird aber unter Umständen versagen, weil die Werte für n und k zu groß sind. Eine Berechnung mit der Hand ist praktisch undurchführbar, weil man dazu folgende Rechnung ausführen müsste: P(H ª 49800) = P(H = 0) + P(H = 1) + … + P(H = 49800) = = ​ 2 ​ 1 0 0 0 0 0 0 ​ 3 ​· 0,​5​ 0 ​· 0,​5​ 100000 ​+ ​ 2 ​ 1 0 0 1 0 0 0 ​ 3 ​· 0,​5​ 1 ​· 0,​5​ 99999 ​+ … + ​ 2 ​ 1 4 0 9 0 8 0 0 0 0 0 ​ 3 ​· 0,​5​ 49800 ​· 0,​5​ 50200 ​ Im Folgenden überlegen wir uns eine Methode, wie man diese Aufgabe auf eine andere Art lösen kann, allerdings nur näherungsweise. In den folgenden Abbildungen sind verschiedene Binomialverteilungen dargestellt. Diese sind nicht – wie bisher üblich – durch Stabdiagramme, sondern durch Histogramme dargestellt. Dabei werden auf der Zahlengeraden Intervalle (Klassen) der Breite 1 gezeichnet, deren Mittel- punkte den ganzen Zahlen entsprechen. Über jedem Intervall mit dem Mittelpunkt k wird ein Rechteck gezeichnet, dessen Flächeninhalt gleich der Wahrscheinlichkeit P(H = k) ist. n = 50, p = 0,5, μ = 25, σ = 3,54: n = 100, p = 0,5, μ = 50, σ = 5: n = 50, p = 0,3, μ = 15, σ = 3,24: n = 100, p = 0,3, μ = 30, σ = 4,58: In jede Abbildung wurde auch die Dichtefunktion einer Normalverteilung mit den Parametern μ = n · p und σ = ​ 9 _______ n · p · (1 – p)​eingezeichnet. Die Abbildungen lassen vermuten, dass man in jedem Fall die „Treppenfunktion“ durch eine stetige Kurve annähern kann, die die Form einer Gauß’schen Glockenkurve hat. Wir vermuten also: Satz (Grenzwertsatz von DeMoivre und Laplace in „lockerer“ Formulierung) Ist n genügend groß, dann kann eine Binomialverteilung mit den Parametern n und p näherungsweise durch eine Normalverteilung mit den Parametern μ = n · p und σ = ​ 9 _______ n · p · (1 – p)​ersetzt werden. R Ó Applet s923v7 0,1 13 15 20 25 30 35 0 P (h = k) k μ – σ μ + μ σ 0,1 35 40 45 50 55 60 65 0 P (h = k) k μ – σ μ + μ σ 0,1 5 10 20 25 0 P (h = k) k μ – σ μ + μ σ 15 0,1 15 20 25 30 35 40 45 0 P (h = k) k μ – σ μ + μ σ Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv