Mathematik verstehen 8, Schulbuch

76 4 Die Normalvertei lung 4 . 4 Approximation der Binomialverteilung durch die Normalverteilung Wiederholung: Die Binomialverteilung Die Binomialverteilung haben wir in Mathematik verstehen 7 (Seite 217– 224) ausführlich bespro- chen. Wir wiederholen die wichtigsten Eigenschaften dieser Verteilung. Bei einem Zufallsversuch tritt ein Ereignis E mit der Wahrscheinlichkeit p ein. Der Versuch wird n-mal unter den gleichen Bedingungen durchgeführt. Ist H die Anzahl der Versuche, bei denen E eintritt, dann gilt: P(H = k) = ​ 2 ​n k ​ 3 ·​​p​ k ​· (1 – p​)​ n – k ​ Durch diese Formel ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsvariablen H festgelegt, die man als Binomialverteilung mit den Parametern n und p bezeichnet. Die Zufallsvariable H nennt man binomialverteilt mit den Parametern n und p . Eine solche Verteilung kann durch eine Tabelle oder ein Stabdiagramm dargestellt werden. Ein Beispiel findet man in nebenstehender Abbildung. Wahrscheinlichkeiten der Form P(H = k), P(H ª k) oder P(H º k) können mit Technologieeinsatz berechnet werden. Für n = ​ 1 _ 6 ​, n = 10 und n = 20 können sie auch aus den Tabellen auf Seite 248 bis 250 abgelesen werden. Ist H eine binomialverteilte Zufallsvariable, dann gilt für ihren Erwartungswert μ und ihre Standardabweichung σ : μ = n · p, σ = ​ 9 _______ n · p · (1 – p)​ 4 . 50 Eine Münze wird 20-mal geworfen. Ermittle die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens 8-mal „Zahl“ kommt! Lösung: Die absolute Häufigkeit H für „Zahl“ bei 20 Würfen ist binomialverteilt mit n = 20 und p = 0,5. Der Tabelle auf Seite 250 entnimmt man: P(H ª 8) ≈ 0,252. Aufgaben 4 . 51 Ein Würfel wird zehnmal geworfen. Ermittle die Wahrscheinlichkeit, dass a) genau zwei Sechser, b) mindestens zwei Sechser, c) höchstens zwei Sechser kommen! 4 . 52 Bei einem Spielautomaten gewinnt man mit der Wahrscheinlichkeit 0,4. Ermittle die Wahrschein- lichkeit, dass man bei zehn Spielen a) nie, b) immer, c) genau fünfmal, d) mindestens fünfmal, e) höchstens fünfmal gewinnt! 4 . 53 Bei einem Spielautomaten gewinnt man mit der Wahrscheinlichkeit 0,1. Ermittle die Wahrschein- lichkeit, dass man bei 30 Spielen a) höchstens einmal, b) mindestens einmal, c) genau einmal, d) genau zweimal gewinnt! 4 . 54 In einer Urne sind zwei weiße und 13 schwarze Kugeln. Es wird 20-mal eine Kugel mit Zurück­ legen gezogen. Berechne den Erwartungswert und die Standardabweichung für die Anzahl der gezogenen weißen Kugeln! R 0 0,1 0,2 0,3 0,4 1 2 3 4 5 6 7 P (h = k) k L Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv