Mathematik verstehen 8, Schulbuch

74 4 Die Normalvertei lung Ermitteln von μ 4 . 37 Eine Maschine soll Flaschen mit 0,75 ® Wein abfüllen. Dabei ist der tatsächliche Flascheninhalt F nach der Füllung als annähernd normalverteilt mit σ = 0,01 ® anzuse- hen. Um Beschwerden wegen zu geringen Inhalts aus dem Weg zu gehen, beschließt die Firmenleitung, pro Flasche etwas mehr als 0,75 ® abzufüllen. Ermittle, wie viel Wein die Maschine im Mittel pro Flasche abfüllen muss, damit nur 2% aller Fla - schen weniger als 0,75 ® enthalten! Lösung mi t Technologieeinsatz : Es soll gelten: P(F < 0,75) = P(F ª 0,75) = 0,02. Mit Technologieeinsatz erhält man μ ≈ 0,77. Die Maschine muss also im Mittel ca. 0,77 ® pro Flasche abfüllen. Lösung mi t der Standardnormalvertei lung: Es soll gelten: P(F < 0,75) = P(F ª 0,75) = Φ​ 2 ​ 0,75 – μ __ σ ​ 3 ​ = Φ​ 2 ​ 0,75 – μ __ 0,01 ​ 3 ​= 0,02. Aus der Tabelle auf Seite 251 entnimmt man: ​ 0,75 – μ __ 0,01 ​≈ – 2,05. Daraus erhält man: μ ≈ 0,75 + 0,01 · 2,05 ≈ 0,77. Die Maschine muss also im Mittel ca. 0,77 ® pro Flasche abfüllen. Aufgaben 4 . 38 Firma Fruchtgarten füllt Himbeersirup in Flaschen ab, die 0,7 ® enthalten sollen. Aufgrund der automatischen Abfüllung schwankt der Flascheninhalt jedoch, wobei man annehmen kann, dass dieser annähernd normalverteilt mit σ = 0,05 ® ist. Ermittle, welchen Erwartungswert μ der Abfüll- prozess aufweisen muss, damit nur 1% der Flaschen weniger als 0,7 ® enthalten! 4 . 39 Die Firma Nuts&Co füllt auf einer Produktionsanlage Erdnüsse in Dosen ab, die jeweils 500g ent- halten sollen. Man kann davon ausgehen, dass die Füllmasse M annähernd normalverteilt mit σ = 2g ist. Nuts&Co möchte erreichen, dass höchstens 5% der Dosen weniger als 500g enthal - ten. Ermittle, mit welchem Erwartungswert μ die Anlage dazu arbeiten muss! 4 . 40 Der Hersteller von Batterien des Typs Eterna behauptet, dass nur 2% der produzierten Batterien eine „Lebensdauer“ von 270 Betriebsstunden oder weniger aufweisen. Ermittle die mittlere „Lebensdauer“ von Batterien dieses Typs unter der Annahme, dass der Hersteller Recht hat und die „Lebensdauer“ von Eterna -Batterien normalverteilt mit σ = 15h ist! 4 . 41 Von Tintenrollern des Typs LongRun gibt der Hersteller an, dass 97% der produzierten LongRun - Tintenroller eine Schreiblänge von mindestens 2450m besitzen. Ermittle die mittlere Schreib­ länge eines LongRun -Tintenrollers, wenn man voraussetzt, dass die Angaben des Herstellers zu- treffen und die Schreiblänge normalverteilt mit σ = 375m ist! 4 . 42 Eine Maschine füllt Waschmittelpakete mit der Aufschrift „Füllmenge 500g“ ab. Um Beschwer- den wegen zu geringen Inhalts aus dem Weg zu gehen, füllt die Maschine die Pakete jedoch so ab, dass die Masse des eingefüllten Waschmittels annähernd normalverteilt mit dem Erwar- tungswert μ = 510g und der Standardabweichung σ = 5g ist. a) Beantworte folgende Kundenfrage: Wie viel Prozent der Pakete wiegen weniger als 500g? b) Beantworte folgende Produzentenfrage: Mit welchem Erwartungswert μ müsste die Maschi- ne (mit σ = 5g) arbeiten, damit nur 2% der Pakete weniger als 500g wiegen? R L 0,75 μ 2% R kompakt Seite 79 L R Nur zu Prüfzwecken – Eig n um des Verlags öbv