Mathematik verstehen 8, Schulbuch

73 4 . 3 Grundaufgaben zur Normalvertei lung Ermitteln eines symmetrischen Intervalls um μ 4 . 32 Bei einer Produktion von Stahlkugeln für Kugellager ist der Kugeldurchmesser D annähernd normalverteilt mit μ = 4 und σ = 0,2 (Angaben in mm). Ermittle ein symmetrisches Intervall um μ , in dem 80% aller Kugeldurchmesser liegen! Lösung mi t Technologieeinsatz : Gesucht ist c * ℝ so, dass P(4 – c ª D ª 4 + c) = 0,80. Wie auf Seite 79 beschrieben, erhält man: P(3,74 ª D ª 4,26) ≈ 0,80. Somit liegen ca. 80% aller Kugeldurchmesser im Intervall [3,74; 4,26]. Lösung mi t der Standardnormalvertei lung: Gesucht ist c * ℝ so, dass P( μ – c ª X ª μ + c) = 2 · Φ​ 2 ​ c _ σ ​ 3 ​ – 1 = 0,80. Daraus folgt: Φ​ 2 ​ c _ σ ​ 3 ​ = 0,9. Aus der Tabelle auf Seite 251 entnimmt man: ​ c _ σ ​ ≈ 1,28. Daraus folgt: c ≈ 1,28 · σ = 1,28 · 0,2 ≈ 0,26. Damit erhält man P(3,74 ª D ª 4,26) ≈ 0,80. Somit liegen ca. 80% aller Kugeldurchmesser im Intervall [3,74; 4,26]. Aufgaben 4 . 33 Eine Zufallsvariable X ist normalverteilt mit den Parametern μ = 25 und σ = 3,8. Ermittle c * ℝ + näherungsweise so, dass: a) P(25 – c ª X ª 25 + c) = 0,90 c) P( † X – 25 † ª c) = 0,30 b) P(25 – c ª X ª 25 + c) = 0,45 d) P( † X – 25 † ª c) = 0,55 4 . 34 Die Flügellänge F einer Insektenart ist annähernd normalverteilt mit μ = 5,0 und σ = 1,1 (Angaben in mm). a) Berechne die minimale Flügellänge, die von 75% dieser Insekten erreicht oder überschritten wird! b) Ermittle ein symmetrisches Intervall um μ , in dem 90% der Flügellängen liegen! 4 . 35 Eine Metallhobelmaschine erzeugt Metallplatten, deren Dicke annähernd normalverteilt mit μ = 10 und σ = 0,02 ist (Angaben in mm). Platten, deren Dicke nicht im Toleranzbereich von 9,95mm bis 10,05mm liegt, gelten als Ausschuss. a) Ermittle, wie viel Prozent Ausschuss zu erwarten sind! b) Berechne, wie viel Prozent der Plattendicken die untere Toleranzgrenze unterschreiten und wie viel Prozent die obere Toleranzgrenze überschreiten! c) Wie müsste man die Toleranzgrenzen μ – c und μ + c wählen, damit 95% der Plattendicken innerhalb dieser Toleranzgrenzen liegen? 4 . 36 Auf dem Bio-Hof Hühnerglück legen Hennen der Rasse „Sulmtal“ täglich ca. 1 500 Eier, deren Masse M annähernd normalverteilt mit μ = 55 und σ = 5 ist (Angaben in g). Hühnerglück teilt Eier in drei Klassen ein. Eier unter 49g fallen in die Klasse S (small), Eier über 61 g gehören zur Klasse L (large), alle anderen Eier fallen in die Klasse M (medium). a) Gib an, wie viele Eier einer Tagesproduktion von Hühnerglüc k ungefähr auf die Klasse M entfallen! b) Bestimme Schranken μ – c und μ + c der Klasse M so, dass ca. 750 Eier der Tagesproduktion in die Klasse M fallen! R L 4 – c 4 + c 4 R kompakt Seite 79 L R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv