Mathematik verstehen 8, Schulbuch

72 4 Die Normalvertei lung Ermitteln eines Intervalls mit vorgegebener Wahrscheinlichkeit 4 . 27 Bei einer Serienproduktion von Metallzylindern ist der Durchmesser D annähernd normalverteilt mit μ = 3,5 und σ = 0,4 (Angaben in cm). a) Ermittle näherungsweise, welchen Durchmesser die untersten 75% aller Metallzylinder höchstens erreichen! b) Ermittle näherungsweise, welchen Durchmesser die obersten 75% aller Metallzylinder mindestens erreichen! Lösung mi t Technologieeinsatz : a) Gesucht ist x * ℝ so, dass P(D ª x) = 0,75. Wie auf Seite 79 beschrieben, erhält man: x ≈ 3,8 cm. b) Gesucht ist x * ℝ so, dass P(D º x) = 0,75. Wie auf Seite 79 beschrieben, erhält man: x ≈ 3,2 cm. Lösung mi t der Standardnormalvertei lung: a) P(D ª x) = 0,75 w Φ​ 2 ​ x – μ _ σ ​ 3 ​ = Φ​ 2 ​ x – 3,5 _ 0,4 ​ 3 ​= 0,75 Aus der Tabelle entnimmt man: ​ x – 3,5 _ 0,4 ​≈ 0,67. Daraus folgt: x ≈ 3,5 + 0,4 · 0,67 ≈ 3,8 (cm). b) P(D º x) = 0,75 w Φ​ 2 – ​ x – μ _ σ ​ 3 ​ = Φ​ 2 – ​ x – 3,5 _ 0,4 ​ 3 ​= 0,75 Aus der Tabelle entnimmt man: – ​ x – 3,5 _ 0,4 ​≈ 0,67. Daraus folgt: x ≈ 3,5 – 0,4 · 0,67 ≈ 3,2 (cm). Aufgaben 4 . 28 Eine Zufallsvariable X ist normalverteilt mit μ = 25 und σ = 3,8. Ermittle x näherungsweise so, dass gilt: a) P(X ª x) = 0,25 b) P(X ª x) = 0,9 c) P(X º x) = 0,20 d) P(X º x) = 0,68 4 . 29 Die Körpergröße K der Jugendlichen einer Schule ist annähernd normalverteilt mit μ = 158 und σ = 4 (Angaben in cm). a) Ermittle den Prozentsatz der Jugendlichen mit einer Körpergröße von mindestens 170cm! b) Ermittle, welche Körpergröße die kleinsten 5% der Jugendlichen höchstens erreichen und welche Körpergröße die größten 5% der Jugendlichen mindestens aufweisen! 4 . 30 Ein Transportunternehmen nimmt Gepäckstücke bis zu 20kg an. Aufgrund bisheriger Erfahrun- gen geht das Unternehmen davon aus, dass die Masse der abgegebenen Gepäckstücke annähernd normalverteilt mit μ = 17kg und σ = 2 kg ist. a) Ermittle, wie viel Prozent der abgegebenen Gepäckstücke das Unternehmen voraussichtlich abweisen muss! b) Gib an, welche maximale Masse pro Gepäckstück das Unternehmen tolerieren müsste, damit nur 1% der abgegebenen Gepäckstücke abzuweisen sind! 4 . 31 PharmaZeut stellt auf zwei Maschinen Kapseln des Medikaments SimulStatin her, wobei die Masse M des Kapselinhalts jeweils annähernd normalverteilt ist. Die erste Maschine arbeitet mit ​ μ ​ 1 ​= 1,80 und σ = 0,05, die zweite mit ​ μ ​ 2 ​= 1,85 und der gleichen Standardabweichung wie die erste Maschine (Angaben in cg). 1) Ermittle für die Produktion der ersten Maschine, welchen Inhalt die am besten befüllten 5% der produzierten Kapseln mindestens erreichen! 2) Gib an, wie viel Prozent der von der zweiten Maschine produzierten Kapseln mindestens die in 1) errechnete Masse erreichen! R L 2,5 3 3,5 0,75 x 4 4,5 R kompakt Seite 79 L Grafik zu 4.27 a) R Nur zu Prüfzwecken – Eigentu de Verlags öbv