Mathematik verstehen 8, Schulbuch

7 1 .1 Stammfunkt ionen Definition: Sind f und F reelle Funktionen mit derselben Definitionsmenge A und gilt F’(x) = f(x) für alle x * A, dann heißt F eine Stammfunktion von f . Kurz: F ist Stammfunktion von f É F’ = f 1 . 02 Ermittle eine Stammfunktion der Funktion f: R ¥ R mit f(x) = x 2 ! Ist diese eindeutig bestimmt? Deute das Ergebnis geometrisch! Lösung: Man kann durch Differenzieren überprüfen, dass die folgenden Funktionen die Funktion f als Ableitung haben: F 0 (x) = x 3 _ 3 F 1 (x) = x 3 _ 3 + 1 F 2 (x) = x 3 _ 3 + 2 F 3 (x) = x 3 _ 3 + 3 usw. Allgemein hat jede Funktion der folgenden Form die Funktion f als Ableitung: F(x) = x 3 _ 3 + c mit c * R Man kann dies folgendermaßen geometrisch interpretieren: Die Graphen dieser Funktionen gehen durch Verschiebungen in Richtung der 2. Achse auseinan- der hervor (siehe nebenstehende Abbildung). Sie haben somit an jeder Stelle x * R die gleiche Steigung. Also stimmen auch ihre Ableitungen an jeder Stelle x miteinander überein. Ist F 0 : A ¥ ℝ eine Stammfunktion von f, dann ist auch jede Funktion F mit f(x) = F 0 (x) + c eine Stammfunktion von f, denn es ist F ’(x) = F’ 0 (x) = f(x) für alle x * A. Es stellt sich aber die Frage: Sind alle Stammfunktionen von f von dieser Form? Um diese Frage zu beantworten, beweisen wir zuerst den folgenden Satz. Satz: Ist I ein Intervall und f’(x) = 0 für alle x * I, dann ist f konstant in I. Beweis : Ist f’(x) = 0 für alle x * I, dann gilt sowohl f’(x) º 0 als auch f’(x) ª 0 für alle x * I. Somit ist f in I sowohl monoton steigend als auch monoton fallend. Das ist nur möglich, wenn f in I konstant ist.  Nun können wir zeigen: Satz Ist die reelle Funktion f in einem Intervall I definiert und F 0 eine Stammfunktion von f, dann sind alle Stammfunktionen von f von der Form F(x) = F 0 (x) + c mit c * ℝ . Beweis : Sei F eine beliebige Stammfunktion von f. Wir betrachten die Funktion G mit G(x) = F(x) – F 0 (x). Wegen G’(x) = F’(x) – F’ 0 (x) = f(x) – f(x) = 0 gilt nach dem letzten Satz G(x) = F(x) – F 0 (x) = c mit c * ℝ und somit F(x) = F 0 (x) + c für alle x * I.  1 2 3 4 –1 –2 –3 –4 –1 –3 –2 –4 1 2 3 4 0 F(x) x F 3 F 2 F 1 F 0 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv