Mathematik verstehen 8, Schulbuch

67 4 . 2 Normalvertei lte Zufallsvariablen Die Standardnormalverteilung Da die Form einer Gauß’schen Glockenkurve von den Parametern μ und σ abhängt, gibt es un- endlich viele verschiedene Gauß’sche Glockenkurven. Man kann jedoch jede Glockenkurve durch eine einfache Skalentransformation (Veränderung der Skala auf der Achse) auf eine Glockenkur- ve mit den Parametern μ = 0 und σ = 1 zurückführen. Wir bezeichnen dazu die ursprüngliche Ska- la der Zufallsvariablen als x-Skala und die neue Skala als z-Skala : Die z-Skala wählen wir so: Dem Wert x = μ entspricht der Wert z = 0, dem Wert x = μ + σ entspricht der Wert z = 1, dem Wert x = μ + 2 · σ entspricht der Wert z = 2, usw. Allgemein entspricht dem Wert x = μ + z · σ auf der x-Skala der Wert z auf der z-Skala. Merke: Zwischen x und z besteht folgender Zusammenhang: x = μ + z · σ bzw. z = ​ x – μ _ σ ​ Die Normalverteilung mit μ = 0 und σ = 1 heißt Standardnormalverteilung . Den Übergang von einer Normalverteilung mit den Parametern μ und σ zur Normalverteilung mit den Parametern μ = 0 und σ = 1 bezeichnet man als Standardisieren . Die Dichtefunktion der Standardnormalverteilung wird mit φ bezeichnet. Eine Termdarstellung für φ erhält man durch Einsetzen von μ = 0 und σ = 1 in die allgemeine Termdarstellung der Dichtefunktion f einer Normalverteilung auf Seite 66: Dichtefunktion der Standardverteilung φ (z) = ​ 1 _ ​ 9 __ 2 π​ ​ · e​ ​ – ​ ​z​ 2 ​ _ 2 ​ ​ Die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung wird mit Φ bezeichnet. Die Werte Φ( z) sind für verschiedene z in der Tabelle auf Seite 251 näherungsweise angegeben. Ein grundlegender Satz, der im Folgenden noch öfter gebraucht wird, lautet: Satz: Ist die Zufallsvariable X normalverteilt mit den Parametern μ und σ , dann gilt: P( μ – z · σ ª X ª μ + z · σ ) = 2 · Φ( z) – 1 Beweis : P( μ – z · σ ª X ª μ + z · σ) = Φ( z) – Φ (– z) Da die Standardglockenkurve symmetrisch bezüglich der Geraden z = 0 ist, ist Φ (– z) = 1 – Φ( z) (siehe nebenstehende Abbildung). Damit folgt: P( μ – z · σ ª X ª μ + z · σ) = Φ( z) – (1 – Φ( z)) = 2 · Φ( z) – 1  R μ μ + z · σ x-Skala 0 z-Skala z 1 z – 0 1 φ z Φ (z) 0 φ z Φ (– z) 1 – Φ (z) 0 φ – z Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv