Mathematik verstehen 8, Schulbuch

66 4 Die Normalvertei lung 4 . 2 Normalverteilte Zufallsvariablen Die Gauß’sche Glockenkurve Viele Zufallsvariablen in naturwissenschaftlichen, technischen und ökonomischen Anwendungen besitzen eine Dichtefunktion, deren Graph eine glockenförmige Kurve ist. Nebenstehend ist als Beispiel die Verteilung der Durchmesser bei einer Produktion von Stahlstiften dargestellt. Weitere Beispiele so verteilter Zufallsvariablen: Fertigungsmaße (zB. Länge, Dicke, Masse) von Industrieprodukten, Messergebnisse, Körpergrößen, Intelligenzquotienten von Erwachsenen, Flugzeiten einer Fluglinie auf einer bestimmten Strecke etc. Weil solche Verteilungen häufig vorkommen, bezeichnet man diese als „Normalverteilungen“. Durch theoretische Überlegungen kam Carl Friedrich Gauß (1777–1855) zum Ergebnis, dass die Dichtefunktion f einer solchen Verteilung durch folgende Termdarstellung beschrieben werden kann: Dichtefunktion einer Normalverteilung: f(x) = 1 _ 9 __ 2 π σ · e – 1 _ 2 · 2 x – μ _ σ  3 2 Diese Funktion hängt von den Parametern μ und σ ab. Der Graph dieser Funktion heißt Gauß’sche Glockenkurve mit den Parametern μ und σ . Man kann zeigen, dass μ die einzige Maximumstelle von f ist, dass μ – σ und μ + σ Wendestellen von f sind und der Graph von f symmetrisch bezüglich der Geraden x = μ ist (siehe Aufgabe 4.06). Definition (Normalverteilung) Eine Zufallsvariable X, deren Wahrscheinlichkeitsverteilung durch eine Gauß’sche Glockenkurve mit den Parametern μ und σ beschrieben werden kann, heißt normalverteilt mit den Parametern μ und σ . Die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X bezeichnet man als Normalverteilung mit den Parametern μ und σ . Durch Berechnung der entsprechenden Integrale kann man zeigen: μ ist der Erwartungswert von X . σ ist die Standardabweichung von X . Aufgaben 4 . 06 Zeige durch eine Funktionsuntersuchung mit Differentialrechnung, dass die Dichtefunktion f einer Normalverteilung mit den Parametern μ und σ folgende Eigenschaften besitzt: a) f ist in (– • ; μ] streng monoton steigend und in [ μ ; • ) streng monoton fallend. b) f besitzt die globale Maximumstelle μ . c) f ist in (– • ; μ – σ] linksgekrümmt, in [ μ – σ ; μ + σ] rechtsgekrümmt und in [ μ + σ ; • ) linksgekrümmt. d) f besitzt die Wendestellen μ – σ und μ + σ . e) Der Graph von f ist symmetrisch bezüglich der Geraden x = μ . R 3,00 3,04 3,08 Durchmesser (in mm) 2,96 2,92 μ μ – σ μ + σ x f R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv