Mathematik verstehen 8, Schulbuch

65 4 .1 Diskrete und stet ige Zufallsvariablen 4 . 04 Begründe anhand der Abbildung: P(X ª a) = P(X < a) Lösung: Der Inhalt der grün unterlegten Fläche ist unabhängig davon, ob man die Begrenzungsstrecke am rechten Rand hinzunimmt oder nicht. Rechnerisch kann man dies mit der Additionsregel der Wahrscheinlichkeitsrechnung beweisen: P(X ª a) = P(X < a) + P(X = a) = P(X < a) + 0 = P(X < a) Auf analoge Weise lassen sich folgende Formeln begründen: P(X º a) = P(X > a) P(a ª X ª b) = P(a < X < b) = P(a < X ª b) = P(a ª X < b) Merke P(X ª a) = F(a) = : – • a f(x)dx P(X º a) = 1 – F(a) = 1 – : – • a f(x) dx P(a ª X ª b) = F(b) – F(a) = : a b f(x)dx P(X ª a = X º b) = 1 – : a b f(x)dx Der Erwartungswert, die Varianz und die Standardabweichung einer stetigen Zufallsvariablen werden analog zu den entsprechenden Begriffen diskreter Zufallsvariablen definiert. Aus den Summen werden dabei Integrale, aus a i wird x und aus p i wird f(x) dx. Definition Für eine stetige Zufallsvariable X definiert man: Erwartungswert von X: μ = E(X) = : – • • x · f(x)dx Varianz von X: σ 2 = V(X) = : – • • (x – μ ) 2 · f(x) dx Standardabweichung von X: σ = 9 ___ V(X) Aufgaben 4 . 05 Eine Zufallsvariable X sei stetig verteilt. Drücke die folgenden Wahrscheinlichkeiten mit Hilfe der Verteilungsfunktion F von X aus! 1) P(X < x) 3) P(a < X < b), falls a < b 2) P(X > x) 4) P(X < a = X > b), falls a < b a P (X ª a) = F (a) x f a F (a) f a 1 – F (a) f b F(b) – F (a) f a b f a R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv