Mathematik verstehen 8, Schulbuch

63 4 .1 Diskrete und stet ige Zufallsvariablen Beispiel : Anzahl von „Kopf“ bei dreimaligem Münzwurf Für eine diskrete Zufallsvariable X mit endlich vielen möglichen Werten a 1 ,a 2 , …, a k , die mit den Wahrscheinlichkeiten p 1 ,p 2 , …, p k angenommen werden, definiert man: Erwartungswert von X: μ = E(X) = a 1 · p 1 + a 2 · p 2 + … + a k · p k Varianz von X: σ 2 = V(X) = (a 1 – μ) 2 · p 1 + (a 2 – μ) 2 · p 2 + … + ( a k – μ ) 2 · p k Standardabweichung von X: σ = 9 ___ V(X) Für eine diskrete Zufallsvariable X mit abzählbar vielen möglichen Werten a 1 ,a 2 , a 3 … definiert man analog: Erwartungswert von X: μ = E(X) = a 1 · p 1 + a 2 · p 2 + … Varianz von X: σ 2 = V(X) = (a 1 – μ) 2 · p 1 + (a 2 – μ) 2 · p 2 + … Standardabweichung von X: σ = 9 ___ V(X) Bei sehr häufiger Wiederholung des Zufallsversuchs ist E(X) näherungsweise gleich dem Mittel- wert der erhaltenen Variablenwerte und V(X) näherungsweise gleich der empirischen Varianz der erhaltenen Variablenwerte. Zur Berechnung der Varianz bzw. Standardabweichung mit der Hand verwendet man geschickter folgenden Satz: Satz (Verschiebungssatz für die Varianz) σ 2 = a 1 2 · p 1 + a 2 2 · p 2 + … + a k 2 · p k – μ 2 bzw. σ 2 = a 1 2 · p 1 + a 2 2 · p 2 + … – μ 2 Aufgaben 4 . 01 Die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Augensumme zweier Würfel ist durch die nachfolgende Tabelle gegeben. 1) Ergänze die Tabelle durch die Werte der Verteilungsfunktion! 2) Stelle die Wahrscheinlichkeitsfunktion und die Verteilungsfunktion durch Stabdiagramme dar! Werte a i der Augensumme 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Wahrscheinlichkeit P(a i ) 1 _ 36 2 _ 36 3 _ 36 4 _ 36 5 _ 36 6 _ 36 5 _ 36 4 _ 36 3 _ 36 2 _ 36 1 _ 36 Verteilungswerte F(a i ) 4 . 02 a) Berechne die Varianz und die Standardabweichung der Augenzahl beim Wurf mit einem Würfel! Interpretiere das Ergebnis! b) Berechne die Varianz und die Standardabweichung der Augensumme beim Wurf mit zwei Würfeln! Interpretiere das Ergebnis! a i P(a i ) 0 0,5 1 1 2 3 a i 0 1 2 3 P(a i ) 1 _ 8 3 _ 8 3 _ 8 1 _ 8 a i 0 1 2 3 F(a i ) 1 _ 8 4 _ 8 7 _ 8 8 _ 8 a i F(a i ) 0 0,5 1 1 2 3 R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv