Mathematik verstehen 8, Schulbuch

56 3 Vert iefung der Integralrechnung Mit Hilfe der Substitutionsregel kann man die in der Unterstufe nur anschaulich begründete For- mel für den Flächeninhalt eines Kreises herleiten: Satz (Flächeninhalt eines Kreises) Für den Flächeninhalt A eines Kreises mit dem Radius r gilt: A = r 2 · π Ein Beweis dieses Satzes findet sich im Anhang auf Seite 244. Partielle Integration Satz (Partielle Integration) Sei f stetig, F eine Stammfunktion von f und g differenzierbar mit stetiger Ableitung. Dann gilt: : a b f(x) · g(x) dx= F(x) · g(x ) 1 a b – : a b F(x) · g’(x) dx Einen Beweis dieser Regel findet man im Anhang auf Seite 245. Beispiel 1 : : 1 e x· ln(x) dx = x 2 _ 2 · ln(x) 1 1 e – : 1 e x 2 _ 2 · 1 _ x dx = x 2 _ 2 · ln(x) 1 1 e – 1 _ 2 · : 1 e x dx= 135 1223225 f g = x 2 _ 2 · ln(x) 1 1 e – 1 _ 2 · x 2 _ 2 1 1 e = e 2 _ 2 – 2 e 2 _ 4 – 1 _ 4 3 = e 2 _ 4 + 1 _ 4 = 1 _ 4 (e 2 + 1) Beispiel 2 : Manchmal hilft es, die Faktoren zu vertauschen: : 0 π _ 2 x· sin(x) dx = : 0 π _ 2 sin(x)· x dx = – cos(x) · x 1 0 π _ 2 – : 0 π _ 2 [– cos(x)]· 1 dx = 1223225 135 f g = – cos(x) · x 1 0 π _ 2 – [– sin(x)] 1 0 π _ 2 = 0 + 1 = 1 Beispiel 3 : : 0 π _ 2 cos 2 (x)dx = : 0 π _ 2 cos(x)· cos(x) dx = sin(x) · cos(x) 1 0 π _ 2 – : 0 π _ 2 sin(x)· [– sin(x)] dx = 122232225 122232225 f g = 0 + : 0 π _ 2 sin 2 (x)dx = : 0 π _ 2 [1 – cos 2 (x)]dx = : 0 π _ 2 1dx – : 0 π _ 2 cos 2 (x)dx = = x 1 0 π _ 2 – : 0 π _ 2 cos 2 (x)dx = π _ 2 – : 0 π _ 2 cos 2 (x)dx Aus der Gleichung : 0 π _ 2 cos 2 (x)dx = π _ 2 – : 0 π _ 2 cos 2 (x)dx folgt: : 0 π _ 2 cos 2 (x)dx = π _ 4 Aufgaben 3 .13 Berechne: a) : 1 e x 2 · ln x dx b) : 0 1 x· e x dx c) : 1 e ln x _ x d x d) : 0 π x· cos x dx e) : 0 π _ 2 sin 2 t dt 3 .14 Der Graph der Funktion f schließt im angegebenen Bereich mit den beiden Koordinatenachsen ein Flächenstück ein. Berechne dessen Inhalt! a) f(x) = (x + 1) · e – x (–1 ª x ª 0) b) f(x) = (x – 1) · e – x (0 ª x ª 1) L L Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv