Mathematik verstehen 8, Schulbuch

55 3 . 3 Wei tere Integrat ionsmethoden 3 . 3 Weitere Integrationsmethoden Substitution Die Formel : a b f(x) dx = F(b) – F(a)ist nur anwendbar, wenn man eine Stammfunktion F von f kennt. Wenn dies nicht der Fall ist, kann man ein Integral manchmal berechnen, wenn man eine Substitution x = g(t) mit einer geeigneten Funktion g durchführt. Satz (Substitutionsregel) Sei f stetig, g differenzierbar mit stetiger Ableitung und x = g(t). Dann gilt: : a b f(x) dx= : c d f(g (t)) · g’(t) dt = : c d f(g(t)) · dx _ dt dt, wobei a = g(c) und b = g(d) Einen Beweis dieser Regel findet man im Anhang auf Seite 244. 3 . 09 Berechne: a) : 0 1 1 _ 4 x + 3 dx b) : 0 3 9 ___ x + 1dx Lösung: a)  Es liegt nahe, 4x + 3 = t zu setzen, dh. folgende Substitution durchzuführen: x = t – 3 _ 4  Neue Grenzen: x = 0 w t = 3, x = 1 w t = 7  Nach der Substitutionsregel ergibt sich: : 0 1 1 _ 4x + 3 dx= : 3 7 1 _ t · dx _ dt dt = : 3 7 1 _ t · 1 _ 4 dt = 1 _ 4 · : 3 7 1 _ t dt = 1 _ 4 · ln t 1 3 7 = 1 _ 4 · (ln 7 – ln 3) ≈ 0,212 b)  Substitution: 9 ___ x + 1= t, dh. x = t 2 – 1  Neue Grenzen: x = 0 w t = 1, x = 3 w t = 2  Nach der Substitutionsregel ergibt sich: : 0 3 9 ___ x + 1dx= : 1 2 t · dx _ dt dt= : 1 2 t · 2t dt= 2 · : 1 2 t 2 dt= 2 _ 3 · t 3 1 1 2 = 14 _ 3 Bemerkung: In der Praxis geht man oft weniger exakt vor. ZB rechnet man in Aufgabe 3.09a): x = t – 3 _ 4 w dx _ dt = 1 _ 4 w dx = 1 _ 4 dt w : 0 1 1 _ 4x + 3 dx= : 3 7 1 _ t · 1 _ 4 dt = … Obwohl es eigentlich nicht erlaubt ist, dx _ dt als Bruch aufzufassen, führt dieses Vorgehen hier zum richtigen Ergebnis. Aufgaben 3 .10 Berechne: a) : 0 1 5 _ 2 + 3x d x ( Hinweis : Setze 2 + 3x = t!) b) : 0 1 1 _ (x – 2) 2 dx ( Hinweis : Setze x – 2 = t!) 3 .11 Berechne durch eine geeignete Substitution: a) : 0 4 9 ____ 3x + 4dx b) : 0 a 9 ____ ax + bdx (a, b > 0) c) : 0 a 3 9 ____ 2x + 1dx (a > 0) 3 .12 Berechne durch eine geeignete Substitution: a) : 0 1 e 5x + 1 dx b) : 0 1 3 · 2 x – 2 dx c) : π _ 2 3 π _ 4 sin 2 2x – π _ 2 3 dx d) : a b cos x + 1 _ 2 dx L L Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv