Mathematik verstehen 8, Schulbuch

54 3 Vert iefung der Integralrechnung 3 . 2 Unbestimmtes Integrieren Das unbestimmte Integral Definition (Unbestimmtes Integral) Ist F eine beliebige Stammfunktion von f, so setzt man: : f= : f(x) dx= F(x) + c (mit c * R ) Man bezeichnet das Symbol : fbzw. : f(x) dxals unbestimmtes Integral von f , weil keine Grenzen angegeben sind. Im Gegensatz dazu wird ein Integral mit vorgegebenen Grenzen als bestimm- tes Integral bezeichnet. Die Bildung des unbestimmten Integrals bezeichnet man wie beim be- stimmten Integral als Integrieren . Da die Konstante c eine beliebige reelle Zahl ist, ist das Symbol für das unbestimmte Integral nicht eindeutig. Es legt keine eindeutig bestimmte Funktion fest, sondern eine Menge von Funktionen (eine „ Funktionenschar “). Das unbestimmte Integral wird oft benutzt, um Stammfunktionen anzugeben. Beispiele : : x 3 dx = x 4 _ 4 + c, : sin x dx = – cos x + c, : e x dx = e x + c Zusammenhang zwischen Differenzieren und Integrieren Aus : f(x)dx = F(x) + c folgt (sofern die auftretenden Ableitungen und Integrale existieren): 4 : f(x)dx 5 ’ = F’(x) = f(x) Daraus erkennt man: Wird f zuerst integriert und das Ergebnis der Integration anschließend dif- ferenziert, so ergibt sich wieder die Funktion f. Kurz: Differenzieren ist die Umkehrung des Integrierens. : f’(x)dx = f(x) + c, da f eine Stammfunktion von f’ ist. Daraus erkennt man: Wird f zuerst differenziert und die Ableitung anschließend integriert, so er- gibt sich wieder die Funktion f (bis auf eine additive Konstante c). Kurz: Integrieren ist die Umkehrung des Differenzierens (bis auf eine additive Konstante). Aufgaben 3 . 06 Ermittle das unbestimmte Integral! a) : (x 3 – x + 1) dx c) : 9 _ xdx e) : 1 _ x 3 dx g) : (x – 3 ) 2 dx b) : (x – 1) 2 dx d) : sin( ω t) dt f) : 3 9 __ x 2 dx h) : 2 · cos(2x) dx 3 . 07 Ermittle: a) : (au 2 + b) du, (a, b * R ) b) : (au 2 + b) da, (u, b * R ) c) : (au 2 + b) db, (u, a * R ) 3 . 08 Ermittle das unbestimmte Integral von f! Differenziere das Ergebnis und zeige, dass sich die ur- sprüngliche Funktion f ergibt! a) f(x) = 3x c) f(x) = x 2 – x + 1 e) f(x) = – x 3 + 1 g) f(x) = 3 _ x b) f(x) = 2x + 1 d) f(x) = 2 f) f(x) = – 5 9 _ x– 2 h) f(x) = x + 2 x R R R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv