Mathematik verstehen 8, Schulbuch

53 3 .1 Der Hauptsatz der Di fferent ial - und Integralrechnung Die Integralfunktion Definition Die reelle Funktion f sei im Intervall M stetig und es sei a * M. Unter der Integralfunktion von f bezüglich a versteht man die Funktion ​ I​ a :​ M ¥ R ‡ x ¦ ​ : a ​ x ​ f​ Falls f keine negativen Werte annimmt, kann die Integralfunktion I​​ a ​ für x > a wie in nebenstehender Abbildung als Flächeninhalt A(a, x) gedeutet werden. Sie ist aber auch für x < a definiert. Aufgaben 3 . 05 Die reelle Funktion f sei stetig in [a; b] und es sei f(x) > 0 für alle x * [a; b]. Betrachte die Integralfunktion: I a : [a; b] ¥ R ‡ x ¦ ​ : a ​ x ​ f​ Erläutere durch anschauliche Argumente an einer Skizze, warum folgende Aussagen für I a gelten müssen: 1) I a ist stetig. 2) I a ist streng monoton steigend in [a; b]. Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung Satz (Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung) (1) Ist die reelle Funktion f im Intervall [a; b] stetig und ist F eine beliebige Stammfunktion von f, dann gilt: ​ : a ​ b ​ f(x) dx​= ​ ​ F(x) 1 ​ a ​ b ​= F(b) – F(a) (2) Ist die reelle Funktion f im Intervall [a; b] bzw. [a; • ) stetig, dann ist die Integralfunktion ​I​ a :​ A ¥ ℝ ‡ x ¦ ​ : a ​ x ​ f​ eine Stammfunktion von f . Beweis : (1) haben wir schon auf Seite 18 begründet. (2) Ist F eine beliebige Stammfunktion von f, dann gilt: ​I​ a ​(x) = F(x) – F(a) Daraus folgt: ​I’​ a (​x) = ​F’​(x) – 0 = f(x) Somit ist ​I​ a ​eine Stammfunktion von f.  Beachte die wesentlichen Ergebnisse dieses Satzes: (1) stellt sicher, dass man ein bestimmtes Integral einer stetigen Funktion f immer berechnen kann, wenn man eine Stammfunktion F von f kennt. (2) stellt sicher, dass eine stetige Funktion f stets eine Stammfunktion besitzt. R a x f 0 : a x f A(a, x) = R R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv