Mathematik verstehen 8, Schulbuch

52 3 Vertiefung der Integralrechnung LERNZ IELE 3 .1 Den Hauptsatz der Differential- und Integral- rechnung kennen. 3 . 2 Das unbestimmte Integral kennen und den Zusammenhang zwischen Differenzieren und Integrieren erläutern können. 3 . 3 Integrale durch Substitution oder partielle Integration berechnen können.  Kompetenzcheck 3 .1 Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung Eine Erweiterung des Integralbegriffs Das Integral : a b fhaben wir nur für b > a definiert. Aus theoretischen Gründen ist es aber zweck mäßig, den Integralbegriff durch die folgende Zusatzdefinition zu erweitern: Definition: (1) : a a f= 0 (2) : a b f= – : b a f, falls b < a Man kann zeigen, dass mit dieser Definition alle Sätze für Integrale auf Seite 20 gültig bleiben. Einige davon werden in den Aufgaben 3.02 bis 3.04 bewiesen. Aufgaben 3 . 01 Berechne: a) : 9 6 x 2 dx b) : π _ 2 – π _ 2 cos t dt c) : 0 ln2 e y dy d) : 2 2 9 _ xdx 3 . 02 Auf Seite 20 haben wir für a < b bewiesen: : a b c · f = c · : a b f Zeige, dass dies auch für b < a gilt! 3 . 03 Auf Seite 20 haben wir für a < b bewiesen: : a b (f + g) = : a b f + : a b g Zeige, dass dies auch für b < a gilt! 3 . 04 Die Regel : a b f+ : b c f = : a c fhaben wir auf Seite 20 für a < b < c bewiesen. Sie gilt aber für beliebige a, b, c aus dem Definitionsbereich von f. Zeige dies exemplarisch für: a) c < a < b b) b < a < c c) a < c < b d) a < b = c R R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv