Mathematik verstehen 8, Schulbuch

47 2 . 5 Wei tere Anwendungen Aufgaben 2 . 86 Ermittle den Typ und eine Termdarstellung der zugehörigen Kostenfunktion K! a) K’(x) = 0,15​x​ 2 ​– 2x + 30; K(0) = 600 c) K’(x) = 0,5; K(100) = 10000 b) K’(x) = 0,01x + 10, Fixkosten = 2000 d) K’(x) = – 0,02x + 45; Fixkosten = 500 2 . 87 Nebenstehend ist die Grenzkostenfunktion K’ eines ­ Betriebs dargestellt und ein Flächenstück ist grün unterlegt. 1) Stelle den Inhalt dieses Flächenstücks als Integral dar! 2) Wie kann der Inhalt dieses Flächenstücks wirtschaftlich interpretiert werden? 2 . 88 Die Abbildung zeigt eine Kostenfunktion K und eine Erlösfunktion E. Kreuze die zutreffende(n) Aussage(n) an! K ist progressiv (dh. streng monoton steigend und linksgekrümmt).  Die Gewinngrenzen sind 0ME und 8ME.  Die Grenzkosten sind irgendwo zwischen 4ME und 5ME maximal.  Der Inhalt der grün unterlegten Fläche gibt den Gewinn bei der Produktion von 4ME an.  Die Länge der Strecke AB gibt den Gewinn bei der Produktion von 4ME an.  Wichtige Schlussbemerkung zum Integralbegriff Ein Integral haben wir bisher auf vielfache Weise gedeutet: als Flächeninhalt, als Volumen, als Weglänge, als Arbeit, usw. Das Integral selbst ist aber mit keiner dieser Deutungen identisch. In der Definition von Ober- und Untersumme sowie der Definition des Integrals ist keine Rede von Flächeninhalten, Volumina, Weglängen usw. Das Integral ist somit ein abstrakter Oberbegriff für die einzelnen Deutungen. Integral Flächeninhalt Volumen Weglänge Arbeit … Beachte : Oft wird der Integralbegriff fälschlicherweise mit dem Flächeninhaltsbegriff identifiziert. Dass das Integral aber nicht mit dem Flächeninhalt identisch ist, zeigt die folgende einfache Überlegung. Der Graph der nebenstehend abgebildeten Funktion ist symmet- risch bezüglich des Ursprungs. Der Inhalt der Fläche, den der Graph von f im Intervall [a; b] mit der 1. Achse einschließt, ist sicher positiv, es gilt jedoch: ​ : a ​ b ​ f = 0​ R 50 100 150 200 50 100 150 200 250 300 350 0 K’ (x) K’ x 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 6 7 8 6 7 8 9 0 B A C K E K (x) E (x) x R f 0 b a Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv