Mathematik verstehen 8, Schulbuch

46 2 Einige Anwendungen der Integralrechnung 2 . 83 Nebenstehend ist die Förderrate R eines Erzbergwerks im Verlauf von 50 Jahren dargestellt. 1) Wie viel wurde im ersten Jahr gefördert? 2) Wann ungefähr war die Förderrate am größten? 3) In welchem Jahrzehnt wurde am meisten gefördert? 4) Wann wurde die Förderung eingestellt? 5) Was bedeutet der Inhalt der grün unterlegten Fläche? 6) Stelle die gesamte geförderte Erzmenge als Integral dar! 2 . 84 Nebenstehend sind die Geburtenrate G und die Sterberate S für eine Population (beide in Individuen pro Jahr) im Verlauf von 15 Jahren dargestellt. 1) In welchem Zeitraum hat die Population zugenommen, in welchem abgenommen? 2) Was bedeutet der Inhalt der grün unterlegten Fläche? Stelle diesen durch ein Integral dar! 3) Wann ungefähr war der Individuenzuwachs am stärksten? 2 . 85 Aus einer Öffnung am Boden eines Gefäßes fließt Wasser ab. Das Volumen der Wassermenge, das sich t Sekunden nach Beginn des Abfließens noch im Gefäß befindet, sei V(t). Die Abflussrate zu diesem Zeitpunkt t sei V’(t) = 2t – 10 (in Liter pro Sekunde), sofern t ª 5 ist. Ursprünglich sind 25 ® im Gefäß. 1) Gib das Volumen V(t) des Wassers an, das nach t Sekunden noch im Gefäß ist! 2) Um wie viel Liter nimmt das Volumen im Zeitintervall [2; 4] ab? Anwendungen in der Wirtschaft Wir wiederholen die wichtigsten Begriffe für eine Produktion von x Mengeneinheiten einer Ware (vgl. Mathematik verstehen 7, Seiten 174 –185) Kostenfunktion K: x ¦ K(x) K(x) = K f (x) + K v (x) = Fixkosten + variable Kosten Die Kostenfunktion K heißt progressiv , wenn sie streng monoton steigend und linksge- krümmt ist, bzw. degressiv , wenn sie streng monoton steigend und rechtsgekrümmt ist. Grenzkostenfunktion K’: x ¦ K’(x) K’(x) gibt näherungsweise den Kostenzuwachs bei Steigerung der Produktion um eine Mengeneinheit an: K’ (x) ≈ K(x + 1) – K(x) Stückkostenfunktion _ K: x ¦ _ K(x) _ K(x) = K(x) _ x gibt die mittleren (durchschnittlichen) Kosten pro Stück bei der Produktion von x Mengeneinheiten an (x ≠ 0). Das Betriebsoptimum x opt ist die Produktionsmenge, für die die Stückkosten minimal sind. Es gilt: _ K( x opt ) = K’(x opt ) . Erlösfunktion E: x ¦ E(x) und Gewinnfunktion G: x ¦ G(x) E(x) = p · x Erlös (Ertrag, Umsatz) = Verkaufspreis mal verkaufte Menge G(x) = E(x) – K(x) Gewinn = Erlös minus Kosten Die Produktionsmengen, für die der Gewinn null ist, nennt man Gewinngrenzen ( Break-even- Mengen ). Die Break-even-Punkte sind die Schnittpunkte der Funktionen K und E an den Gewinngrenzen. 10 20 R 30 10 20 30 40 50 0 Förderrate R (in 1 000 Tonnen/Jahr) Zeit t (in Jahren) 100 200 300 5 10 15 20 0 G S Geburtenrate G Sterberate S Jahre R Ó Lernapplet 7y29ai Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv