Mathematik verstehen 8, Schulbuch

45 2 . 5 Wei tere Anwendungen 2 . 5 Weitere Anwendungen Integrale von Änderungsraten Es sei f eine in [a; b] stetige Funktion mit stetiger Ableitung. Da f eine Stammfunktion von f’ ist, gilt nach dem Satz auf Seite 18: : a b f’(x) dx= f(b) – f(a) 2 . 79 Die Luft in einem Raum wird erwärmt. Es ist T(t) die Temperatur der Luft (in °C) zum Zeitpunkt t (in Stunden). a) Was gibt T’(t) an? b) Was gibt : 0 5 T’(t) dtan? Lösung: a) T’(t) gibt die Änderungsrate der Temperatur (in °C/h) zum Zeitpunkt t (in Stunden) an. b) : 0 5 T’(t) dt= T(5) – T(0). Somit gibt dieses Integral die gesamte Temperaturzunahme (in °C) im Zeitintervall [0; 5] an. Aufgaben 2 . 80 Es sei s: t ¦ s(t) eine Zeit-Ort-Funktion und v: t ¦ v(t) die zugehörige Geschwindigkeitsfunktion. Warum kann die Formel w(a, b) = : a b v(t) dt als Spezialfall der Formel : a b f’(x) dx= f(b) – f(a) aufgefasst werden? Was muss über s und v vorausgesetzt werden? 2 . 81 Durch ein Leck in einem Staudamm fließt Wasser aus. Die Durchflussrate R wurde aufgezeichnet und kann dem nebenstehenden Graphen entnommen werden. Nach sechs Stunden gelingt es schließlich, das Leck zu schließen. 1) Nimmt die pro Stunde ausgeflossene Wassermenge mit der Zeit zu oder ab? 2) Was gibt : 0 6 R(t) dtan? Ermittle dieses Integral näherungsweise anhand der Abbildung! 2 . 82 Ein Patient erhält für die Dauer von 24 Stunden eine Infusion. Die Dosierung (Medikamentenmasse pro Zeiteinheit) wechselt und entspricht annähernd dem nebenstehend abgebildeten Graphen. 1) Beschreibe den Verlauf der Dosierung in Worten! 2) Wann ist die Zunahme der Dosierung am stärksten, wann ungefähr ist die Abnahme am stärksten? 3) Was gibt der Inhalt der grün unterlegten Fläche an? Begründe die Antwort! 4) Stelle die vom Zeitpunkt 6 bis zum Zeitpunkt 16 verabreichte Medikamentenmasse durch ein Integral dar! R R 10 20 30 R 40 50 1 2 3 4 5 6 0 Zeit t (in h) Durchflussrate R (in m 3 /h) 2 1 3 D 5 4 2 4 6 10 14 18 22 8 12 16 20 Zeit t (in h) 24 0 Dosierung D (in mg/h) Nur z Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv