Mathematik verstehen 8, Schulbuch

44 2 Einige Anwendungen der Integralrechnung Arbeit als Integral der Leistung nach der Zeit Die Leistung wird in der Physik so definiert: Leistung = ​ Arbeit __ Zeit ​ Wird im Zeitintervall [a; b] die konstante Leistung P erbracht, dann gilt: Arbeit = Leistung · Zeit W(a, b) = P · (b – a) Ist die Leistung jedoch zeitlich variabel, so wird jedem Zeitpunkt t * [a; b] die Leistung P(t) zugeordnet und man erhält: W(a, b) = ​ : a ​ b ​ P(t) dt​ Falls P konstant ist, ergibt sich die ursprüngliche Formel als Spezialfall: W(a, b) = ​ : a ​ b ​ Pdt​= P · ​ ​ ​ : a ​ b ​ 1 · dt​= P · t 1 ​ a ​ b ​= P · (b – a) Geleistete Arbeit kann als Energie freigesetzt oder gespeichert werden. Wir halten fest: Satz Ist P(t) die Leistung zu einem Zeitpunkt t * [a; b], dann ist die im Zeitintervall [a; b] verrichtete Arbeit gegeben durch: W(a, b) = ​ : a ​ b ​ P(t) dt​ Merke Die Arbeit (bzw. benötigte oder erzeugte Energie) ist das Integral der Leistung nach der Zeit . Aufgaben 2 . 77 Die von einem Heizstrahler in einem bestimmten Zeitintervall abgegebene Wärmeenergie ist gleich der von dem Heizstrahler in diesem Zeitintervall geleisteten Arbeit. Ein bestimmter Heiz- strahler lässt sich durch eine Zeituhr so einstellen, dass sein Leistungsverlauf dem folgenden Graphen entspricht. Ermittle anhand des Graphen die im Zeitintervall [0; 10] abgegebene Wärmeenergie! 2 . 78 Die Leistung einer defekten Maschine nimmt im Verlauf von 24 Stunden exponentiell von 7,2MJ/h auf 2,51MJ/h ab. Berechne die dabei verrichtete Arbeit! R R 2 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 0 Leistung P (t) (in MJ/h) Zeit (in h) P Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv