Mathematik verstehen 8, Schulbuch

43 2 . 4 Physikal ische Anwendungen des Integrals Wird eine Schraubenfeder wie in nebenstehender Abbildung aus ihrer Ruhelage 0 bis zur Lage x ( < 0) gestaucht, entsteht eine Kraft, die der Stauchung entgegengesetzt gerichtet ist und versucht, die Feder wieder in ihre Ruhelage zurückzuführen. Wenn die Stauchung nicht zu groß ist, gilt für den Betrag F dieser Kraft näherungsweise: F(x) = – k · x. Dabei ist die positive Zahl k die sogenannte Federkonstante, die vom Material und der Bauart der Feder abhängt. 2 . 72 Eine Schraubenfeder mit der Federkonstanten k = 400N/m wird ausgehend von ihrer Ruhelage um 0,05m gestaucht. Berechne die Arbeit W, die die Feder verrichten muss, um wieder in die Ruhelage zurückzukehren! Lösung: F(x) = – 400 · x W(– 0,05; 0) = ​ : – 0,05 ​ 0 ​ F(x) dx​= ​ : – 0,05 ​ 0 ​ (– 400 · x) dx​= – 400 · ​ ​ ​ : – 0,05 ​ 0 ​ x dx​= – 400 · ​ ​x​ 2 ​ _ 2 ​ 1 ​ – 0,05 ​ 0 ​= 0,5 (J) Aufgaben 2 . 73 Die Federkonstante k einer Schraubenfeder beträgt a) 100N/m b) 200N/m, c) ​k​ 0 ​N/m. Die Feder wird von der Ruhelage 0 bis zur Lage x = –0,1m gestaucht. Berechne die Arbeit, die die Feder verrichten muss, um sich wieder zur Ruhelage auszudehnen! 2 . 74 Die Federkonstante k einer Schraubenfeder beträgt k​ ​ 0 ​N/m. Die Feder wird von der Ruhelage 0 bis zur Lage x (< 0) gestaucht. Stelle eine Formel für die Arbeit W(x; 0) auf, die die Feder verrich- ten muss, um sich wieder zur Ruhelage auszudehnen! 2 . 75 Eine Schraubenfeder wird aus ihrer Ruhelage bis zur Lage x (< 0) gestaucht. Um die Feder wieder in die Ruhelage zurückzuführen, muss die Arbeit W(x; 0) verrichtet werden. Ermittle, ob sich die- se Arbeit verdoppelt, wenn 1) k doppelt so groß wird, 2) die Feder doppelt so weit gestaucht wird! 2 . 76 Auf einen im Gravitationsfeld der Erde befindlichen Körper wirkt die Gravitationskraft F(r) = G · ​ M· m _ ​r​ 2 ​ ​. Dabei ist r die Entfernung des Körpers vom Erdmittelpunkt (in Meter), M die Erdmasse (in Kilogramm), m die Masse des Körpers (in Kilogramm) und F(r) die Anziehungskraft (in Newton). G = 6,67 · 10 –11 m 3 kg –1 s – 2 ist die Gravitationskonstante. 1) Gib eine Formel für die Arbeit an, die verrichtet werden muss, um einen Körper der Masse m aus der Entfernung r 1 vom Erdmittelpunkt in die Entfernung r 2 vom Erdmittelpunkt zu bringen! 2) Berechne die Arbeit (in Joule), die verrichtet werden muss, um einen 1 t schweren Körper von der Erdoberfläche in 300 km Höhe zu bringen! (Erdradius R ≈ 6378 km; Erdmasse M ≈ 5,97 · 10 24 kg) 3) Berechne die Arbeit, die verrichtet werden muss, um einen Körper der Masse 100 kg von der Erdoberfläche um einen Erdradius zu entfernen! x 0 1 R R R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv