Mathematik verstehen 8, Schulbuch

42 2 Einige Anwendungen der Integralrechnung 2 . 4 Physikalische Anwendungen des Integrals Arbeit als Integral der Kraft nach dem Weg Ein Körper werde durch eine Kraft _ À Fmit dem Betrag F geradlinig vom Ort a zum Ort b bewegt, wobei vorausgesetzt wird, dass die Kraftrichtung mit der Wegrichtung übereinstimmt und der Betrag F der Kraft konstant ist (siehe nebenstehende Abbildung). Die dabei verrichtete Arbeit ist definiert durch: Arbeit = Kraft ·Weg W(a, b) = F · (b – a) Wir nehmen nun an, dass zwar die Kraftrichtung mit der Wegrichtung übereinstimmt, der Be- trag F der Kraft jedoch nicht konstant ist. Jedem Ort x * [a; b] wird dadurch ein Betrag F(x) der Kraft zugeordnet. Was soll man in diesem Fall unter der verrichteten Arbeit verstehen? Wir denken uns das Wegintervall [a; b] in Teilintervalle der Länge Δ x zerlegt. In jedem Teilinter- vall wählen wir eine Stelle x mit kleinstmöglichem (größtmöglichem) F(x) und berechnen damit die kleinstmögliche (größtmögliche) Arbeit Δ W = F(x) · Δ x in diesem Teilintervall. Die Summe dieser Produkte liefert eine Untersumme U (Obersumme O) für die gesuchte Arbeit W(a, b). Anschaulich ist klar, dass für alle Untersummen U und alle Obersummen O für W(a, b) gilt: U ª W(a, b) ª O Andererseits gilt aufgrund der Definition des Integrals für alle diese Untersummen U und Obersummen O: U ª : a b F(x)dx ª O Da es genau eine reelle Zahl gibt, die „zwischen“ allen diesen Untersummen U und allen diesen Obersummen O liegt, muss gelten: W(a, b) = : a b F(x)dx Falls F konstant ist, ergibt sich die ursprüngliche Formel als Spezialfall: W(a, b) = : a b Fdx= F · : a b 1 · dx= F · x 1 a b = F · (b – a) Wir halten fest: Satz Ein Körper werde durch eine Kraft von a nach b bewegt. Für jedes x * [a; b] sei F(x) der Betrag dieser Kraft. Dann ist die dabei verrichtete Arbeit gegeben durch: W(a, b) = : a b F(x) dx Merke Die Arbeit ist das Integral der Kraft nach dem Weg . Im Folgenden messen wir die Weglänge stets in Meter (m), die Kraft in Newton (N) und die Arbeit in Joule (J). Dabei gilt: 1 J = 1Nm. R F a b 0 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv