Mathematik verstehen 8, Schulbuch

40 2 Einige Anwendungen der Integralrechnung 2 . 60 Eine Ellipse mit der Gleichung b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2 b 2 rotiert 1) um die x-Achse, 2) um die y-Achse. Berechne jeweils das Volumen des entstehenden Rotationsellipsoids! Lösung: 1) 2) Aus der Ellipsengleichung folgt: Aus der Ellipsengleichung folgt: y 2 = b 2 – b 2 _ a 2 x 2 x 2 = a 2 – a 2 _ b 2 y 2 Nach dem obigen Satz ergibt sich: Nach dem obigen Satz ergibt sich: V _ 2 = π · : 0 a 2 b 2 – b 2 _ a 2 x 2 3 dx V _ 2 = π · : 0 b 2 a 2 – a 2 _ b 2 y 2 3 dy Rechne selbst! Es ergibt sich: V = 4 π _ 3 ab 2 Rechne selbst! Es ergibt sich: V = 4 π _ 3 a 2 b Aufgaben 2 . 61 Der zwischen den Geraden x = –2a und x = 2a liegende Teil der Hyperbel hyp: b 2 x 2 – a 2 y 2 = a 2 b 2 rotiert a) um die x-Achse, b) um die y-Achse. Berechne das Volumen des entstehenden Rotationshyperboloids! 2 . 62 a) Ein Paraboloid entsteht durch Drehung der Parabel y 2 = 2px um die x-Achse für –2p ª y ª 2p. Stelle eine Formel für das Volumen des Paraboloids auf! b) Ein Paraboloid entsteht durch Drehung der Parabel x 2 = 2py um die y-Achse für –2p ª x ª 2p. Stelle eine Formel für das Volumen des Paraboloids auf! 2 . 63 Der Graph der Funktion f rotiert um die x-Achse. Berechne das Volumen des entstehenden Drehkörpers! a) f(x) = 1 _ 3 x, 0 ª x ª 5 c) f(x) = 3 9 _ x, 1 ª x ª 27 e) f(x) = ax 2 , 0 ª x ª a b) f(x) = 3 _ 5 x + 2, 1 ª x ª 5 d) f(x) = 2e x , –1 ª x ª 3 f) f(x) = ax 3 + 8, 0 ª x ª a y y x x a – a 0 b – b X = (x 1 y) y y x x a – a 0 b – b X = (x 1 y) R y y x a 2a – a – 2a 0 x a 2a – a – 2a 0 zweischaliges Rotationshyperboloid einschaliges y y x y 2p – 2p 0 x y 2p – 2p 0 x Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv