Mathematik verstehen 8, Schulbuch

39 2 . 3 Volumina Volumina von Rotationskörpern Bei der Herleitung der Formel V(K) = : a b A(z) dzhaben wir Ebenen normal zur z-Achse gelegt. Legt man Ebenen normal zur x-Achse oder y-Achse, erhält man durch analoge Überlegungen: V(K) = : a b A(x) dx bzw. V(K) = : a b A(y) dy Dreht sich der nebenstehend abgebildete Graph der Funktion f um die x-Achse, entsteht ein Drehkörper (Rotationskörper). Wir setzen y = f(x). Für den Inhalt der Querschnittsflächenfunktion an der Stelle x gilt: A(x) = y 2 · π Für das Volumen des Rotationskörpers ergibt sich: V = : a b A(x) dx= : a b y 2 · π dx= π · : a b y 2 dx Analog gehen wir vor, wenn sich der Graph von f um die y-Achse dreht. Wir setzen voraus, dass sich die Gleichung y = f(x) eindeutig nach x auflösen lässt, dh. dass die Umkehr- funktion von f existiert: x = f*(y). Für den Inhalt der Querschnittsflächenfunktion an der Stelle y gilt dann: A(y) = x 2 · π Für das Volumen des Rotationskörpers ergibt sich: V = : c d A(y) dy= : c d x 2 · π dy= π · : c d x 2 dy Wir haben somit bewiesen: Satz Es sei f eine reelle Funktion mit y = f(x), a ª x ª b und c ª y ª d. Dreht sich der Graph der Funktion f um eine Koordinatenachse, dann gilt für das Volumen des entstehenden Rotationskörpers (1) bei Drehung um die x-Achse : (2) bei Drehung um die y-Achse : V = π · : a b y 2 d x V = π · : c d x 2 d y R f y x a b x y kompakt Seite 48 x y x c f d y f y x a b x y x y x c f d y Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv