Mathematik verstehen 8, Schulbuch

38 2 Einige Anwendungen der Integralrechnung Herleitung von Volumsformeln 2 . 57 Leite die Volumsformel V = G · h _ 3 für eine Pyramide mit dem Grundflächeninhalt G und der Höhe h her! Lösung: Es seien a und a’ die nebenstehend eingezeichneten Strecken längen. Nach dem Strahlensatz gilt: a’ : a = (h – z) : h. Aus der Ähnlichkeitslehre wissen wir: Die Flächeninhalte ähnlicher Figuren verhalten sich wie die Quadrate entsprechender Strecken- längen in diesen Figuren. Daher gilt für den Inhalt A(z) der Querschnittsfläche in der Höhe z und den Inhalt G der Grundfläche: A(z) : G = (a’) 2 : a 2 = (h – z) 2 : h 2 Daraus ergibt sich: A(z) = G · (h – z) 2 __ h 2 = G _ h 2 · (h 2 – 2hz + z 2 ) Die Querschnittsflächenfunktion A ist eine Polynomfunktion und daher stetig in [0; h]. Somit gilt: V(K) = : 0 h A(z) dz= : 0 h G _ h 2 · (h 2 – 2hz + z 2 ) dz= G _ h 2 · : 0 h (h 2 – 2hz + z 2 ) dz= G _ h 2 · 2 h 2 z – hz 2 + z 3 _ 3 3 1 0 h = = G _ h 2 · 2 h 3 – h 3 + h 3 _ 3 3 = G _ h 2 · h 3 _ 3 = G · h _ 3 Bemerkung: Die Formel A = c · h _ 2 für den Flächeninhalt eines Dreiecks kann auf elementare Weise aus der Formel für den Flächeninhalt eines Rechtecks gewonnen werden. Beispielsweise kann sie aus der neben stehenden Abbildung abgelesen werden. Eine analoge elementare Herleitung der Formel V = G · h _ 3 für das Volumen einer Pyramide ist aber nicht möglich. Diese Formel kann man nur mit infinitesimalen Methoden herleiten, dh. mit Methoden, denen Grenzprozesse zugrundeliegen (wie mittels Integration). Aufgaben 2 . 58 Leite die Formel V = r 2 π h _ 3 für das Volumen eines Kreiskegels mit dem Radius r und der Höhe h her! 2 . 59 Leite die Formel V = r 2 π h für das Volumen eines Zylinders mit dem Radius r und der Höhe h her! R h z 0 a’ a c h II II I I R h z r 0 h z r 0 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv