Mathematik verstehen 8, Schulbuch

37 2 . 3 Volumina Die in der letzten Aufgabe erhaltene Formel für das Volumen kann verallgemeinert werden: Satz Es sei K ein Körper und A(z) der Inhalt der Querschnittsfläche in der Höhe z (mit a ª z ª b). Falls die Querschnittsflächenfunktion A stetig ist, gilt für das Volumen V(K) des Körpers: V(K) = ​ : a ​ b ​ A(z) dz​ Merke Das Volumen ist das Integral des Querschnittsflächeninhalts nach der Höhe . Aufgaben 2 . 53 Für den nebenstehend abgebildeten Körper ist die Querschnitts- fläche in jeder Höhe z * [0; 6] ein Quadrat mit der Seitenlänge a(z) = 6 – ​ 1 _ 6 ​z​ ​ 2 .​ 1) Begründe, dass das Volumen des Körpers als Integral dargestellt werden kann! 2) Berechne das Volumen des Körpers! 2 . 54 Für den nebenstehend abgebildeten Körper ist die Querschnitts- fläche in jeder Höhe z * [0; 8] ein regelmäßiges Sechseck mit der Seitenlänge a(z) = ​ 1 _ 8 ​(z – 4) 2 + 2. Berechne das Volumen des Körpers! 2 . 55 Die nebenstehend abgebildete Staumauer ist 50m hoch und hat in jeder Höhe eine annähernd rechteckige horizontale Schnittfläche. Die Breite der Mauer (und damit eine Seitenlänge der Schnittfläche) ist in einer Höhe von z Meter über der Grund- fläche gegeben durch: b(z) = ​ 1 _ 150 ​(z 2 + 40z + 3000) (in Metern) Die Dicke dieser Mauer (und somit die zweite Seitenlänge der ho- rizontalen Schnittfläche) nimmt von 30m an der tiefsten Stelle (z = 0) bis zu 10m an der höchsten Stelle (z = 50) linear ab. Wieviel Kubikmeter Beton sind zur Errichtung der Staumauer erforderlich? 2 . 56 (Fortsetzung von 2.52) Begründe die Formel V = ​ : 0 ​ 4 ​ A(z)​dz mit dem auf Seite 42 beschriebenen Verfahren! x y z b z a A(z) R 6 z 0 A B C D a(z) S 8 z 0 a(z) 50 z 0 b(z) Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv