Mathematik verstehen 8, Schulbuch

36 2 Einige Anwendungen der Integralrechnung 2 . 3 Volumina Volumen als Integral der Querschnittsfläche In der nebenstehenden Abbildung ist ein Körper K dargestellt. Wir legen eine Ebene parallel zur xy-Ebene durch den Punkt (0 1 0 1 z) und schneiden diese mit dem Körper K. Die entstehende Schnittfläche bezeichnen wir als Querschnittsfläche in der Höhe z . Ihren Inhalt bezeichnen wir mit A(z) (wobei a ª z ª b). Die Funktion A: [a; b] ¥ R ‡ z ¦ A(z) nennen wir die Querschnittsflächenfunktion des Körpers bezüglich der z-Achse. Wir setzen stets voraus, dass die Funktion A stetig ist. 2 . 52 Der nebenstehend abgebildete Körper K hat die Höhe 4. Die Querschnittsfläche ist in jeder Höhe z * [0; 4] ein Quadrat mit der Diagonalenlänge d(z) = 8 – 4 9 _ z. 1) Begründe, dass man das Volumen V(K) des Körpers als Integral darstellen kann! 2) Berechne dieses Volumen! Lösung: 1) Es sei A(z) der Inhalt der Querschnittsfläche in der Höhe z. Wir betrachten eine Zerlegung Z des Intervalls [0; 4] in n Teil- intervalle der Länge Δ z. Durch jeden Teilungspunkt legen wir eine Ebene parallel zur xy-Ebene. Zwischen diesen Ebenen errichten wir Prismen, die dem Körper ein- bzw. umgeschrieben sind (siehe nebenstehende Abbildung). Die Summe der Volumina der eingeschriebenen (umgeschriebenen) Prismen liefert eine Untersumme (Obersumme) für das Volumen des Körpers K. Anschaulich ist klar, dass für alle Untersummen U und alle Obersummen O von A in [0; 4] gilt: U ª V(K) ª O Andererseits gilt aufgrund der Definition des Integrals für alle Untersummen U und alle Obersummen O von A in [0; 4]: U ª : 0 4 A(z) dzª O Da es genau eine reelle Zahl gibt, die „zwischen“ allen Untersummen U und allen Obersummen O von A in [0; 4] liegt, muss gelten: V(K) = : 0 4 A(z) dz 2) Ist a(z) die Seitenlänge des Schnittquadrats in der Höhe z, dann gilt nach dem pythagoräischen Lehrsatz: [d(z)] 2 = 2 · [a(z)] 2 . Daraus folgt: A(z) = [a(z)] 2 = 1 _ 2 · [d(z)] 2 = 1 _ 2 · (8 – 4 9 _ z) 2 = 32 – 32 9 _ z+ 8z V = : 0 4 A(z) dz= : 0 4 (32 – 32 · 9 _ z+ 8z) dz= 8 · : 0 4 (4 – 4 · z 1 _ 2 + z) dz= 8 · 2 4z – 8 _ 3 · z 3 _ 2 + 1 _ 2 z 2 3 1 0 4 = 64 _ 3 R x y z b z a A(z) 4 z 0 4 0 Δ z Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv