Mathematik verstehen 8, Schulbuch

35 2 . 2 Weglängen Berechnung von Weglängen bei vorgegebener Beschleunigungsfunktion 2 . 46 Ein Körper hat die Anfangsgeschwindigkeit 2m/s und wird beschleunigt. Seine Beschleunigung nach t Sekunden ist gegeben durch a(t) = t (m/s 2 ) . 1) Stelle eine Formel für die Länge des im Zeitintervall [t 1 ; t 2 ] zurückgelegten Weges auf! 2) Berechne die Länge des im Zeitintervall [2; 3] zurückgelegten Weges! Lösung: Es sei v: t ¦ v(t) die Geschwindigkeitsfunktion und a: t ¦ a(t) die Beschleunigungsfunktion. Es gilt: v’(t) = a(t). Die Geschwindigkeitsfunktion v ist also eine Stammfunktion der Beschleuni- gungsfunktion a und somit von der Form: v(t) = 1 _ 2 t 2 + c Aus v(0) = 2 folgt c = 2. Somit gilt: v(t) = 1 _ 2 t 2 + 2 1) w(t 1 ; t 2 ) = : t 1 t 2 v(t) dt= : t 1 t 2 2 1 _ 2 t 2 + 2 3 dt= 2 t 3 _ 6 + 2t 3 1 t 1 t 2 = t 2 3 _ 6 + 2t 2 – t 1 3 _ 6 – 2t 1 = 1 _ 6 2 t 2 3 – t 1 3 3 + 2(t 2 – t 1 ) (m) 2) w(2; 3) = 1 _ 6 · (27 – 8) + 2 · (3 – 2) = 31 _ 6 ≈ 5,2 (m) Aufgaben 2 . 47 Ein Körper hat die Anfangsgeschwindigkeit 1m/s und wird beschleunigt. Seine Beschleunigung nach t Sekunden ist gegeben durch a(t) = t(t + 1) (m/s 2 ). Berechne die Länge des im Zeitintervall 1) [t 1 ; t 2 ], 2) [0; 5] zurückgelegten Weges! 2 . 48 Ein Körper hat die Anfangsgeschwindigkeit 10m/s und wird verzögert. Seine Beschleunigung nach t Sekunden ist gegeben durch a(t) = – t (m/s 2 ). Berechne die Länge des im Zeitintervall 1) [t 1 ; t 2 ], 2) [0; 5] zurückgelegten Weges! 2 . 49 Ein Körper erfährt ab dem Zeitpunkt t = 0 die Beschleunigung a(t) = 1 _ 4 t (m/s 2 ) . 1) Berechne die Geschwindigkeit v(t) des Körpers zum Zeitpunkt t, wenn v(0) = 5m/s ist! 2) Berechne die Länge des in den ersten drei Sekunden nach dem Beginn der Beschleunigungs- phase zurückgelegten Weges! 2 . 50 Ein Stein fällt aus 20m Höhe. Er erfährt die konstante Erdbeschleunigung g. Zeige: 1) Die Geschwindigkeit des Steins nach t Sekunden beträgt v(t) = g · t. 2) Die Höhe des Steins nach t Sekunden beträgt h(t) = 20 – g _ 2 t 2 2 für 0 ª t ª 9 __ 40 _ g 3 . 2 . 51 Im Allgemeinen ist die Beschleunigung eines Autos nicht konstant. Bei höheren Geschwindig- keiten nimmt sie ab und wird schließlich 0 (bei Erreichen der Höchstgeschwindigkeit). Angenommen, ein Auto beschleunigt aus dem Stand (s(0) = 0, v(0) = 0), wobei seine Beschleuni- gung t Sekunden nach dem Start annähernd durch a(t) = 3,2 – 0,16t + 0,002t 2 (m/s 2 ) gegeben ist und diese Formel bis zu dem Zeitpunkt gilt, für den a(t) = 0 ist. 1) Wie lange beschleunigt das Auto? 2) Gib eine Formel für die Geschwindigkeit v(t) zum Zeitpunkt t an! 3) Bestimme die Höchstgeschwindigkeit in m/s und km/h! 4) Wie lang ist der Weg, den das Auto bis zum Zeitpunkt t zurücklegt? 5) Wie lang ist der Weg bis zur Erreichung der Höchstgeschwindigkeit? R R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv