Mathematik verstehen 8, Schulbuch

33 2 . 2 Weglängen Lösung: 1) Es gilt s’(t) = v(t). Die Zeit-Ort-Funktion s ist also eine Stammfunktion der Geschwindigkeits- funktion v und somit von der Form: s(t) = 3 _ 2 · t 2 + c Aus s(0) = 0 folgt c = 0. Somit gilt: s(t) = 3 _ 2 · t 2 2) 1 . Lösungsmögl ichkei t : w(t 1 , t 2 ) = s(t 2 ) – s(t 1 ) = 3 _ 2 · t 2 2 – 3 _ 2 · t 1 2 = 3 _ 2 · (t 2 2 – t 1 2 ) (m) 2 . Lösungsmögl ichkei t : w(t 1 , t 2 ) = : t 1 t 2 v(t) dt= : t 1 t 2 3t dt= 3 · t 2 _ 2 1 t 1 t 2 = 3 _ 2 · (t 2 2 – t 1 2 ) (m) 3) w(2; 3) = 3 _ 2 · (3 2 – 2 2 ) = 7,5 (m) Aufgaben 2 . 37 Ein Auto fährt mit der Anfangsgeschwindigkeit 10m/s und beschleunigt. Seine Geschwindigkeit t Sekunden nach Beginn des Beschleunigungsvorgangs ist näherungsweise gegeben durch v(t) = 2t + 10 (m/s). Berechne die Länge des im Zeitintervall 1) [t 1 , t 2 ], 2) [0; 3], 3) [1; 3] zurückgelegten Weges! 2 . 38 Ein Auto fährt t Sekunden nach dem Beginn einer Beschleunigungsphase annähernd mit der Geschwindigkeit v(t) = 3t + 15 (m/s). Am Beginn dieser Phase ist das Auto 1 500m vom Start- punkt entfernt, von dem es sich geradlinig wegbewegt. Wie groß ist seine Entfernung s(t) vom Startpunkt zum Zeitpunkt t? 2 . 39 Nebenstehend ist eine Geschwindigkeitsfunktion v: t ¦ v(t) dargestellt. Was bedeutet der Inhalt der grün unterlegten Fläche? Begründe die Antwort! 2 . 40 Stelle den Inhalt der grün unterlegten Fläche als Integral dar! Was bedeutet dieser Inhalt, wenn f(x) die 1) Geschwindigkeit zum Zeitpunkt x ist, 2) Breite eines Flusses in der Entfernung x von der Quelle ist? 2 . 41 Nebenstehend ist eine Geschwindigkeitsfunktion v dargestellt. 1) Wie können die zurückgelegten Weglängen w(0; 8) und w(8; 11) in der Abbildung grafisch dargestellt werden? 2) Stelle diese Weglängen durch Integrale dar und berechne sie anhand der Abbildung! R Geschwindigkeit v (t) a b 0 Zeit t v a 0 f(x) x f Ó Lernapplet 32s45w 2 4 6 v 2 4 6 8 10 12 14 0 Geschwindigkeit v (t) (in m/s) Zeit t (in s) Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv