Mathematik verstehen 8, Schulbuch

29 2 .1 Flächeninhalte Inhalte von Flächen zwischen zwei Funktionsgraphen 2 .15 Gegeben sind die Funktion f mit f(x) = 3x – 1 _ 2 x 2 und die Punkte P = (2 1 f(2)) und Q = (6 1 f(6)). Berechne den Inhalt A der Fläche, die vom Graphen von f und der Geraden g = PQ begrenzt wird! Lösung: P = (2 1 4) und Q = (6 1 0) 1 . Lösungsmögl ichkei t : A f (2; 6) = : 2 6 2 3x – 1 _ 2 x 2 3 d x = 3 _ 2 x 2 – 1 _ 6 x 3 1 2 6 = 40 _ 3 A g (2; 6) = 1 _ 2 · 4 · 4 = 8 ( Flächeninhalt eines Dreiecks) A = A f (2; 6) – A g (2; 6) = 40 _ 3 – 8 = 16 _ 3 2 . Lösungsmögl ichkei t : Zeige selbst, dass x + y = 6 eine Gleichung der Geraden g ist! Die Gerade ist also der Graph der linearen Funktion g mit g(x) = – x + 6. A f (2; 6) = : 2 6 2 3x – 1 _ 2 x 2 3 dx = 3 _ 2 x 2 – 1 _ 6 x 3 1 2 6 = 40 _ 3 A g (2; 6) = : 2 6 (– x + 6) dx= – 1 _ 2 x 2 + 6x 1 2 6 = 8 A = A f (2; 6) – A g (2; 6) = 40 _ 3 – 8 = 16 _ 3 3 . Lösungsmögl ichkei t : A = A f (2; 6) – A g (2; 6) = : 2 6 f(x) dx – : 2 6 g(x) dx= : 2 6 [f(x) – g(x)] dx = : 2 6 4 2 3x – 1 _ 2 x 2 3 – (– x + 6) 5 dx= = : 2 6 2 – 1 _ 2 x 2 + 4x – 6 3 dx= – 1 _ 6 x 3 + 2x 2 – 6x 1 2 6 = 16 _ 3 Die dritte Lösungsmöglichkeit der vorigen Aufgabe lässt sich zu einem Satz verallgemeinern. Satz Die Funktionen f und g seien in [a; b] stetig und es sei f(x) º g(x) für alle x * [a; b]. Für den Inhalt A der Fläche, die von den Graphen von f und g sowie den Geraden x = a und x = b eingeschlossen wird, gilt: A = : a b [f(x) – g(x)] dx (Integral von „oberer“ minus „unterer“ Funktion) Beweis : Wir wählen notfalls k so, dass die Graphen von f + k und g + k über der 1. Achse liegen. Dann gilt: A = : a b (f + k) – : a b (g + k)= : a b [(f + k) – (g + k)]= : a b (f – g)  R kompakt Seite 48 2 4 2 4 6 8 0 f (x) x P f g Q 2. A. 1. A. g 0 a b f 2. A. 1. A. 0 a b f + k g + k f g Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv