Mathematik verstehen 8, Schulbuch

27 2 .1 Flächeninhalte Satz Die reelle Funktion f sei in [a; b] stetig und es sei f(x) ª 0 für alle x * [a; b]. Für den Inhalt A(a, b) der von f in [a; b] festgelegten Fläche gilt: A(a, b) = – : a b f(x) dx 2 . 02 Berechne den Inhalt der Fläche, die vom Graphen der Funktion f mit f(x) = x 3 – 9x 2 + 18x und der x-Achse eingeschlossen wird! Lösung: Eine Untersuchung der Funktion f liefert den abgebildeten Graphen. Die Nullstellen von f sind: 0; 3; 6. Man sieht, dass die gesuchte Fläche in zwei Teile zerfällt. A(0; 3) = : 0 3 (x 3 – 9x 2 + 18x) dx= 1 _ 4 x 4 – 3x 3 + 9x 2 1 0 3 = 20,25 A(3; 6) = – : 3 6 (x 3 – 9x 2 + 18x) dx= – 1 _ 4 x 4 + 3x 3 – 9x 2 1 3 6 = 20,25 A(0; 6) = A(0; 3) + A(3; 6) = 20,25 + 20,25 = 40,5 Beachte : Besitzt eine Funktion positive und negative Werte, dann sind die Inhalte der Flächen, die über der ersten Achse liegen, und die Inhalte der Flächen, die unter der ersten Achse liegen, getrennt zu berechnen. Aufgaben 2 . 03 Berechne den Inhalt der von der Funktion f im angegebenen Intervall festgelegten Fläche! a) f(x) = 3 – x 2 , [–1; 1] c) f(x) = 7 + x 4 , [0; 1] e) f(x) = 4x 3 + x + 1, [0; 3] b) f(x) = 8 – 2x 2 , [– 2; 0] d) f(x) = x 2 + x, [2; 3] f) f(x) = x 2 – 3, [– 3; – 2] 2 . 04 Berechne den Inhalt der von der Funktion f im angegebenen Intervall festgelegten Fläche! a) f(x) = 1 _ x 2 , [– 5; – 2] c) f(x) = 3 x , [0; 2] e) f(x) = 2x + x 2 _ 2 , [0; 2] b) f(x) = 9 _ x, [1; 9] d) f(x) = 3 9 __ x 2 , [0; 8] f) f(x) = 1 _ 9 _ x , [1; 4] 2 . 05 Berechne den Inhalt der von der Funktion f im angegebenen Intervall festgelegten Fläche! a) f(x) = 4 – x 2 , [2; 4] b) f(x) = –1 – 4x 4 , [–1; 2] c) f(x) = 3x 2 + 8x, [– 2; –1] 2 . 06 Berechne den Inhalt der von der Funktion f im angegebenen Intervall festgelegten Fläche! a) f(x) = sin x, [0; π ] b) f(x) = cos x, 4 – π _ 2 ; π _ 2 5 c) f(x) = 1 – sin x, [0; π ] 2 . 07 Berechne den Inhalt der Fläche, die vom Graphen der Funktion f und der x-Achse eingeschlossen wird! a) f(x) = 3x(4 – x) 3 c) f(x) = x 2 – 5 e) f(x) = (x 2 – 1) · (x – 4) b) f(x) = x 2 – 2x – 15 d) f(x) = x 3 – x 2 f) f(x) = – x 3 – 5x 2 – 4x 2 . 08 Berechne den Inhalt der Fläche, die vom Graphen der Funktion f, der positiven 1. Achse und der 2. Achse eingeschlossen wird! a) f(x) = x 2 – 9 c) f(x) = 9 _ x– 1 e) f(x) = (x – 1)(x + 1)(x + 2) b) f(x) = 2x 2 – 8x – 10 d) f(x) = x 3 – 1 f) f(x) = cos x 2 0 ª x ª π _ 2 3 a b f 0 x f (x) kompakt Seite 48 10 –10 3 6 0 f (x) x f R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv