Mathematik verstehen 8, Schulbuch

244 Anhang: Beweise Zu 3.3 (Seite 55) Satz (Substitutionsregel) Sei f stetig, g differenzierbar mit stetiger Ableitung und x = g(t). Dann gilt: : a b f(x) dx= : c d f(g (t)) · g’(t) dt = : c d f(g(t)) · dx _ dt dt, wobei a = g(c) und b = g(d) Beweis : Wir führen die Substitution x = g(t) durch. Wir setzen f als stetig und g als differenzierbar voraus und approximieren das Integral durch Summen: : a b f(x)dx ≈ ; f(x)· Δ x = ; f(x)· Δ x _ Δ t · Δ t = ; f(x)· Δ g(t) _ Δ t Diese Näherung gilt im Allgemeinen umso genauer, je kleiner Δ t ist. Für Δ t ¥ 0 geht (wegen der Stetigkeit von g) auch Δ g(t) ¥ 0 und der Differenzenquotient Δ g(t) _ Δ t geht über in den Differential- quotient dg(t) _ dt = g’(t). Wir erhalten also für Δ t ¥ 0: : a b f(x)dx = : c d f(g(t))· g’(t) dt Die neuen Integralgrenzen c und d erhält man aus den Gleichungen a = g(c) und b = g(d).  Zu 3.3 (Seite 56) Satz (Flächeninhalt eines Kreises) Für den Flächeninhalt A eines Kreises mit dem Radius r gilt: A = r 2 · π . Beweis : Wir leiten zunächst eine Formel für den Flächeninhalt _ Ades nebenstehend abgebildeten Viertelkreises her. Aus der Kreisgleichung x 2 + y 2 = r 2 ergibt sich y = f(x) = 9 ____ r 2 – x 2 . Somit ist: _ A= : 0 r 9 ____ r 2 – x 2 dx Um dieses Integral zu berechnen, substituieren wir: x = r · cos(t) 2 0 ª t ª π _ 2 3 Neue Grenzen: x = 0 w t = π _ 2 , x = r w t = 0 Nach der Substitutionsregel ergibt sich: _ A = : 0 r 9 ____ r 2 – x 2 dx = : π _ 2 0 9 ________ r 2 – r 2 · cos 2 (t)· dx _ dt dt = – : 0 π _ 2 9 ________ r 2 – r 2 · cos 2 (t)· (– r · sin(t)) dt = = r 2 · : 0 π _ 2 9 ______ 1 – cos 2 (t)· sin(t) dt = r 2 · : 0 π _ 2 sin 2 (t)dt Zur Berechnung dieses Integrals verwenden wir die Formel sin 2 (t) = 1 – cos(2t) __ 2 : _ A= r 2 · : 0 π _ 2 1 – cos(2t) __ 2 dt = r 2 _ 2 · : 0 π _ 2 [1 – cos(2t)] dt = r 2 _ 2 · 4 t – 1 _ 2 · sin(2t) 5 1 0 π _ 2 = r 2 _ 2 · 2 π _ 2 – 0 3 = r 2 π _ 4 Daraus folgt: A = 4 · _ A= r 2 π  t x r f 0 r y r Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv