Mathematik verstehen 8, Schulbuch

243  Aufgaben Typ 2 13 . 55 Buchungen eines Linienflugs Eine Airline bietet einen Linienflug in einem Flugzeug mit 300 Sitzplätzen an. Erfahrungsgemäß wird ein gebuchter Platz nur bei 90% der Buchungen tatsächlich in Anspruch genommen. Aufgabenstellung: a) 1) Geben Sie an, wie viele belegte Plätze im Durchschnitt zu erwarten sind! 2) Berechnen Sie, mit welcher Wahrscheinlichkeit mindestens 95% der Plätze belegt sind! b) 1) Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der tatsächlich belegten Plätze an. Ermitteln Sie ein symmetrisches Intervall um den Erwartungswert μ von X, in dem die Anzahl der tatsäch- lich belegten Plätze bei einem Linienflug mit 95%iger Wahrscheinlichkeit liegt! 2) Um die Auslastung zu verbessern, führt die Airline Überbuchungen durch, dh. sie nimmt mehr als 300 Buchungen entgegen und hofft, dass nicht alle gebuchten Fluggäste zum Flug erscheinen. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass bei einer 10%igen Über­ buchung nicht alle gebuchten Fluggäste transportiert werden können! 13 . 56 Telefonumfrage In einer Gemeinde mit 5500 Einwohnern wird über den Bau eines Schwimmbades diskutiert. Bei einer Telefonumfrage unter 500 Gemeindebürgern sprachen sich 28% gegen den Schwimm - badbau aus. Daraufhin gab die Lokalzeitung A das Konfidenzintervall [0,26; 0,30] und die Lokalzeitung B das Konfidenzintervall [0,25; 0,31] für den unbekannten relativen Anteil der Schwimmbadgegner in der Gemeindebevölkerung an. Aufgabenstellung: a) 1) Die Angabe eines Konfidenzintervalls, dessen Sicherheit kleiner als 90% ist, kann man als „leichtsinnig“ bezeichnen. Zeigen Sie, dass die Zeitung B leichtsinnig handelt! 2) Kann man auf Grund dessen ohne weitere Rechnung sagen, dass auch die Zeitung A leichtsinnig handelt? Begründen Sie die Antwort! b) 1) Geben Sie ein 95%-Konfidenzintervall für den unbekannten relativen Anteil der Schwimmbadgegner in der Gemeindebevölkerung an! Geben Sie eine frequentistische Interpretation dieses Konfidenzintervalls an! 2) Der Bürgermeister der Gemeinde misstraut der durchgeführten Telefonumfrage. Er möchte eine Meinungsumfrage durchführen lassen und wünscht sich als Ergebnis ein 99%-Konfidenzintervall der Länge 0,03. Begründen Sie, dass ein solches Konfidenz­ intervall in dieser Gemeinde nicht ermittelt werden kann! 13 . 57 Konfidenzintervalle In einer Stichprobe von 1 000 Personen eines Bezirks fanden sich 120 Linkshänder. Aufgabenstellung: a) 1) Geben Sie ein 90%-Konfidenzintervall für den unbekannten relativen Anteil p der Links - händer in der Bevölkerung dieses Bezirks an! 2) Ermitteln Sie ebenso ein 99%-Konfidenzintervall! b) 1) Ein Statistiker gibt aufgrund der vorliegenden Stichprobe das Konfidenzintervall [0,095; 0,125] für p an. Ermitteln Sie die Sicherheit dieses Konfidenzintervalls! 2) Beschreiben Sie, wie sich das Konfidenzintervall für p verändert, wenn bei gleichem Stich- probenumfang größere Sicherheit verlangt wird! c) Einige Zeit später soll der relative Anteil p der Linkshänder in der Bevölkerung dieses Bezirks durch eine neue Stichprobe geschätzt werden. Ermitteln Sie, wie viele Personen zur Ermitt- lung eines 95%-Konfidenzintervalls der Länge 0,025 mindestens untersucht werden müssen, 1) wenn das Ergebnis der ersten Stichprobe mitbenutzt wird, 2) wenn das Ergebnis der ersten Stichprobe nicht mitbenutzt wird! WS-R 3 .1 WS-R 3 . 2 WS-R 3 . 3 WS-R 3 . 4 WS-R 1 . 3 WS-R 4 .1 WS-R 1 . 3 WS-R 4 .1 Nur zu P üfzwecken – Eige tum des Verlags öbv