Mathematik verstehen 8, Schulbuch

241  Aufgaben Typ 2 13 . 51 Qualitätskontrolle Bei einer Qualitätskontrolle wurden fünf Produkte geprüft. Zwei dieser Produkte wurden als de- fekt erkannt. Leider wurde nicht protokolliert, welche zwei von den fünf Produkten defekt waren. Die fünf Produkte werden daher nochmals der Reihe nach untersucht und zwar so lange, bis die beiden defekten Produkte gefunden sind. Aufgabenstellung: a) 1) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass man die beiden defekten Produkte schon bei den ersten beiden vorgenommenen Untersuchungen findet! 2) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass man diese beiden defekten Produkte spätes- tens bei der dritten vorgenommenen Untersuchung findet! b) 1) Geben Sie an, wie viele Untersuchungen höchstens nötig sind, um die beiden defekten Produkte zu finden! 2) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass man die maximale Anzahl von Untersuchun- gen braucht, um die beiden defekten Produkte zu finden! c) 1) Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Untersuchungen bis zum Auffinden der beiden Produkte an. Berechnen Sie die Werte der Wahrscheinlichkeitsfunktion von X und stellen Sie die Wahrscheinlichkeitsfunktion durch eine Tabelle dar! 2) Ermitteln Sie den Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ von X! 13 . 52 Autoreifen Bei der Fertigung von Autoreifen durchläuft jeder Reifen der Reihe nach drei Kontrollen. Jede Kontrolle erkennt erfahrungsgemäß ein mangelhaftes Produkt mit der Wahrscheinlichkeit 0,9. Aufgabenstellung: a) 1) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit p, dass ein mangelhafter Reifen bei einer der drei Kontrollen erkannt wird! 2) Prüfen Sie, ob 1 – p die Wahrscheinlichkeit für einen nicht mangelhaften Reifen angibt, und begründen Sie die Entscheidung! b) 1) Berechnen Sie jeweils die Wahrscheinlichkeit, dass ein mangelhafter Reifen schon bei der ersten, erst bei der zweiten bzw. erst bei der dritten Kontrolle erkannt wird! 2) Ermitteln Sie, wie viele Kontrollen bis zum ersten Erkennen eines mangelhaften Reifens im Durchschnitt zu erwarten sind! 13 . 53 Stromkreisunterbrechungen Zwei elektronische Bauteile der gleichen Art sind parallel bzw. in Serie geschaltet. Jeder Bauteil fällt bei einem Einschaltvorgang mit der Wahrscheinlichkeit p aus. Aufgabenstellung: a) 1) Geben Sie für jede Schaltung die Wahrscheinlichkeit an, dass beim Einschalten der Strom- kreis unterbrochen wird! 2) Die Wahrscheinlichkeit, dass der Strom bei einer Schaltung nicht unterbrochen wird, be- zeichnet man als Zuverlässigkeit der Schaltung. Geben Sie die Zuverlässigkeit für jede der beiden Schaltungen an! b) 1) Bei 500 Einschaltvorgängen wurde der Stromkreis 15-mal unterbrochen. Geben Sie ein 95%-Konfidenzintervall für die Wahrscheinlichkeit einer Unterbrechung des Stromkreises beim Einschalten an! 2) Deuten Sie das Ergebnis frequentistisch! WS-R 2 . 3 WS-R 3 .1 WS-R 2 . 3 WS-R 3 .1 Parallelschaltung Reihenschaltung WS-R 2 .1 WS-R 3 .1 WS-R 4 .1 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv