Mathematik verstehen 8, Schulbuch

221  AUFGABEN VOM TYP 2 12 . 63 Freier Fall Für die Geschwindigkeit eines Körpers beim freien Fall gilt: v(t) ≈ 9,81 · t (t in s, v(t) in m/s). Aufgabenstellung: a) 1) Berechnen Sie die Länge des Weges, den der Körper in den ersten beiden Sekunden zurücklegt! 2) Legt der Körper in vier Sekunden den doppelten Weg zurück? Begründen Sie! b) 1) Berechnen Sie die Beschleunigung des Körpers nach zwei Sekunden! 2) Erfährt der Körper nach vier Sekunden die doppelte Beschleunigung? Begründen Sie! 12 . 64 Einkommensverteilung eines Landes Ist das Gesamteinkommen eines Landes gerecht verteilt? L(x) gebe an, wie viel Prozent des Gesamteinkommens eines Landes von den „einkommensschwächsten“ x% der Einwohner des Landes erwirtschaftet werden. In der folgenden Abbildung ist der Graph der Funktion x ¦ L(x) schwarz gezeichnet. Dieser Graph heißt Lorenz-Kurve (benannt nach dem amerikanischen Mathematiker Max Otto Lorenz, 1876–1959). Wenn das Einkommen gleichmäßig verteilt ist, ergibt sich die rot eingezeichnete Diagonale, denn in diesem Fall haben die einkommensschwächsten 20% der Bevölkerung 20% des Gesamteinkommens, die einkommensschwächsten 40% der Bevölkerung 40% des Gesamt­ einkommens, usw. Da aber das Gesamteinkommen ungleich verteilt ist, ergibt sich der schwarz gezeichnete Graph, der unterhalb dieser Diagonale verläuft. Der sogenannte Gini-Koeffizient ist folgendermaßen definiert: Gini-Koeffizient = ​ Inhalt der Fläche zwischen Diagonale und Lorenzkurve ________ Inhalt der Dreiecksfläche unter der Diagonale ​ Aufgabenstellung: a) 1) Entnehmen Sie der Abbildung näherungsweise, wie viel Prozent des Gesamteinkommens die ärmsten 20% bzw. die reichsten 20% der Bevölkerung erhalten! 2) Beschreiben Sie, wie sich die Lorenz-Kurve ändert, wenn die „Armen immer ärmer und die Reichen immer reicher“ werden! b) 1) Begründen Sie, dass der Gini-Koeffizient ein Maß für die Ungleichheit der Einkommens- verteilung ist! Geben Sie das Intervall an, in dem der Gini-Koeffizient variieren kann und interpretieren Sie den kleinstmöglichen bzw. den größtmöglichen Wert des Gini-Koeffizi- enten im Sachzusammenhang! 2) Berechnen Sie den Gini-Koeffizienten für den Fall, dass die Lorenzkurve näherungsweise durch L(x) = 0,2 · ​x​ 4 ​+ 0,4 · ​x​ 3 ​+ 0,4 · ​x​ 2 ​für 0 ª x ª 1 gegeben ist, wobei für x und L(x) nicht die Prozentzahlen, sondern die relativen Anteile in Dezimaldarstellung einzusetzen sind (zB 0,4 statt 40%). AN-R 2 .1 AN-R 4 . 2 AN-R 4 . 3 FA-R 1 . 4 FA-R 1 . 7 AN-R 4 . 2 AN-R 4 . 3 20 40 60 80 100 20 40 60 80 100 0 L Prozent des Gesamteinkommens Prozent der Bevölkerung Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv