Mathematik verstehen 8, Schulbuch

219  AUFGABEN VOM TYP 2 12 . 58 Polynomfunktion 2 Gegeben ist die Polynomfunktion f: ℝ ¥ ℝ ‡ x ¦ ​x​ 3 ​– 3x. Aufgabenstellung: a) 1) Zeichnen Sie den Graphen von f und ermitteln Sie dessen Hoch- und Tiefpunkte! 2) Prüfen Sie, ob f globale Extremstellen besitzt! Begründen Sie die Entscheidung! b) 1) Ermitteln Sie das Monotonie- und Krümmungsverhalten von f! 2) Beweisen Sie: Der Graph von f ist symmetrisch bezüglich des Ursprungs, aber nicht symmetrisch bezüglich der 2. Achse. c) 1) Geben Sie eine Termdarstellung einer Funktion g an, deren Graph symmetrisch bezüglich der 2. Achse, aber nicht symmetrisch bezüglich des Ursprungs ist! Beweisen Sie diese Eigenschaften von g! 2) Geben Sie eine Termdarstellung einer Funktion h an, deren Graph sowohl symmetrisch bezüglich des Ursprungs als auch symmetrisch bezüglich der 2. Achse ist! 12 . 59 Polynomfunktionen verschiedenen Grades Jeder Polynomfunktion kann man einen Grad zuschreiben. Aufgabenstellung: a) 1) Geben Sie eine Termdarstellung einer Polynomfunktion vom Grad n an! 2) Geben Sie die größtmögliche Anzahl der Nullstellen, lokalen Extremstellen bzw. Wende­ stellen einer solchen Funktion an! b) 1) Geben Sie eine Termdarstellung einer Polynomfunktion f vom Grad 2 an, deren Scheitel im Ursprung liegt und für die f(1) = 1 gilt! 2) Verschieben Sie den Graphen von f anschließend um 2 nach rechts und 3 nach oben und geben Sie eine Termdarstellung der entstehenden Funktion g an! c) 1) Für eine Polynomfunktion f gilt: f(x) = ax​ ​ 2 ​+ c mit a * ℝ * und c * ℝ . Geben Sie an, welche Art von Symmetrie der Graph von f aufweist! 2) Der Graph einer Polynomfunktion f vom Grad 3 besitzt den Hochpunkt (–3 1 54), verläuft außerdem durch den Ursprung und weist dort die Steigung –27 auf. Begründen Sie, dass der Graph symmetrisch bezüglich des Ursprungs ist! 12 . 60 Cavalieri’sches Prinzip Eine Halbkugel mit dem Volumen V 1 und ein kegelförmig ausgehöhlter Zylinder mit gleichem Ra- dius und gleicher Höhe mit dem Volumen V 2 ruhen auf einer Ebene (in der Abbildung sind Quer- schnitte gezeichnet). Der Mathematiker Bonaventura Cavalieri (1598–1647) stellte einen Satz auf, der nach ihm als Cavalieri’sches Prinzip bezeichnet wird: Werden zwei Körper, die auf einer Ebene E ruhen und die gleiche Höhe h haben, von Ebenen parallel zu E geschnitten und sind die Inhalte der beiden Schnittflächen in jeder Höhe z einander gleich, dann haben die beiden Körper gleiches Volumen. Aufgabenstellung: a) 1) Stellen Sie mit Hilfe von r eine Formel für V 2 auf! 2) Zeigen Sie, dass V 1 = V 2 ! b) 1) Zeigen Sie mit Hilfe des Cavalieri’schen Prinzips, dass V 1 = V 2 ! 2) Zeigen Sie mit Hilfe der Integralrechnung, dass V 1 = V 2 ! AG-R 2 .1 AG-R 2 . 3 FA-R 1 . 5 AN-R 2 .1 AN-R 3 . 3 FA-R 1 . 5 FA-R 3 . 2 FA-R 4 . 4 AN-R 2 .1 AN-R 3 . 3 AG-R 2 .1 AN-R 4 . 2 AN-R 4 . 3 r r r r r E r z x z z Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv