Mathematik verstehen 8, Schulbuch

218 12 Rei feprüfung: Analysis 12 . 56 Anziehungskraft eines Planeten auf einen Satelliten Die Anziehungskraft, mit der ein Satellit von einem Planeten angezogen wird, ist nach dem Newton’schen Gravitationsgesetz gegeben durch: F(r) = G · ​ M· m _ ​r​ 2 ​ ​ Dabei ist F(r) die Anziehungskraft (in Newton), r der Abstand des Satelliten vom Mittelpunkt des Planeten (in Meter), M die Masse des Planeten (in Kilogramm) und m die Masse des Satelliten (in Kilogramm). Die Konstante G ist die Gravitationskonstante G ≈ 6,673 · 10​ ​ –11 ​​ 2 ​ ​m​ 3 ​ _ kg · s​ ​ 2 ​ ​ 3 ​. Für einen um einen Planeten kreisenden Satelliten mit der Masse m = 1 200 kg ist der Graph der Funktion F: r ¦ F(r) nebenstehend dargestellt. Außerdem ist eine Tabelle mit Daten der Planeten Erde und Jupiter gegeben. Erde Jupiter Masse M (in Kilogramm) 5,976 · 10 24 1,899 · 10 27 Radius R (in Kilometer) 6378,1 71 492 Aufgabenstellung: a) 1) Entscheiden Sie, ob sich der Graph auf den Jupiter oder die Erde bezieht! Begründen Sie die Antwort! 2) Geben Sie einen sachbezogenen Grund dafür an, dass der linke Teil des Graphen strichliert gezeichnet ist! Begründen Sie, dass die Berechnung des Werts F(5000) keinen Sinn ergibt! b) 1) Begründen Sie durch Rechnung: Wenn die Entfernung des Satelliten vom Planetenmittel- punkt verdoppelt wird, sinkt die Anziehungskraft auf ein Viertel ihres ursprünglichen Wertes. 2) Prüfen Sie, ob die Anziehungskraft auch auf ein Viertel sinkt, wenn die Entfernung von der Planetenoberfläche verdoppelt wird! Begründen Sie die Antwort! c) 1) Interpretieren Sie den Inhalt der grün unterlegten Fläche unter dem Graphen von F! 2) Berechnen Sie den Inhalt dieser Fläche! 12 . 57 Polynomfunktion 1 Für eine Polynomfunktion f gilt f’(x) = ​ 3 _ 8 ​· (​x​ 2 ​– 6x + 5) und f(0) = ​ 25 _ 8 ​. Aufgabenstellung: a) 1) Zeigen Sie, dass f die Nullstellen –1 und 5 besitzt und dass der Graph von f die x-Achse an der Stelle 5 berührt! 2) Begründen Sie, dass es keine weitere Nullstelle gibt! b) 1) Zeigen Sie rechnerisch, dass der Hochpunkt H, der Wendepunkt W und ein Schnittpunkt S des Graphen von f mit der x-Achse ein gleichschenkeliges Dreieck bilden! 2) Ermitteln Sie, wieviel Prozent des Inhalts der vom Graphen von f und der x-Achse begrenzten Fläche auf dieses Dreieck entfallen! AG-R 2 .1 FA-R 1 . 4 FA-R 1 . 7 FA-R 1 . 8 AN-R 4 . 2 AN-R 4 . 3 F(r) (in N) 20 000 40 000 60 000 80 000 5 000 0 R F 15 000 20 000 10 000 r (in km) AG-R 2 . 3 FA-R 1 . 4 AN-R 3 . 3 AN-R 4 . 2 AN-R 4 . 3 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv