Mathematik verstehen 8, Schulbuch

21 1 . 5 Sätze über Integrale 1 . 34 Berechne möglichst geschickt: a) : 1 4 (100x 2 – 150x) dx d) : 4 5 2 1 _ 5 9 _ x– 2 _ 5 9 _ x 3 dx g) : 0 π 24 · (1 + sin x) dx b) : 0 1 2 π _ 4 x 3 + π _ 4 3 dx e) : m 2m a 2 _ 2 (t 2 – 1) dt; (m > 0) h) : 1 2 2 6 x – 6 _ x 3 dx c) : 1 2 2 k · x + k _ x 2 3 dx f) : u 2u 2 4 _ x 3 – 4 _ x 2 3 dx; (u > 0) i) : 2 4 2 5x – 5 _ x 3 dx 1 . 35 Berechne möglichst geschickt: a) : 0 π _ 2 sin x dx + : π _ 2 π sin x dx b) : 0 1 e x dx + : 1 2 e x dx c) : 1 e a _ 5 2 2x + 2 _ x 3 dx + : e 2e a _ 5 2 2x + 2 _ x 3 dx 1 . 36 Berechne möglichst geschickt: a) : 0 1 2(x – 1) dx + : 0 1 (x – 1) dx – : 0 1 x – 1 _ 2 dx d) : 0 π _ 4 (sinx + cos x) dx + : 0 π _ 4 sin x dx – : 0 π _ 4 cos x dx b) : 1 4 3 · 2 x – 1 dx – : 1 4 2 x – 1 dx – : 1 4 2 x dx e) : 1 e 1 _ x dx + : 1 e 2 _ x dx + : 1 e 3 _ x dx + : 1 e 4 _ x dx c) : 0 π _ 2 cos 2 x dx + : 0 π _ 2 sin 2 x dx f) : 0 1 (1 – x) dx + : 1 2 (1 – x) dx – : 0 2 (1 – x) dx Integranden der Form f(k · x) Satz Besitzt die Funktion x ¦ f(x) eine Stammfunktion x ¦ F(x), dann besitzt die Funktion x ¦ f(k · x) (mit k ≠ 0) die Stammfunktion x ¦ 1 _ k · F(k · x). Beweis : G(x) = 1 _ k · F(k · x) w G’(x) = 1 _ k · F’(k · x) = 1 _ k · k · f(k · x) = f(k · x)  Beispiel : : 0 π _ 2 sin(2x) dx= 1 _ 2 · [– cos(2x)] 1 0 π _ 2 = 1 _ 2 · (– cos π + cos 0) = 1 _ 2 · (1 + 1) = 1 Aufgaben 1 . 37 Berechne: a) : 0 π (– cos(3t)) dt b) : 0 π 2 cos 2 1 _ 2 t 3 + sin 2 1 _ 2 t 3 3 dt c) : T _ 2 T r · cos 2 2 π _ T t 3 dt; (T > 0) 1 . 38 Berechne: a) : 0 4 e 2x dx b) : 0 8 5 · e – x dx c) : –1 1 a 2x dx; (a * R + , a ≠ 1) d) : –1 1 a – 2x dx; (a * R + , a ≠ 1) 1 . 39 Für welche Werte von a gilt: a) : 0 a sin(2x) dx = 1 _ 2 ; (0 ª a ª 2 π ) b) : 0 a cos x _ 2 dx = 2; (0 ª a ª 2 π ) R R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv